Правильні многокутники

Деякі правильні многокутники вам вже відомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — правильний чотирикутник.

📐Означення — Правильний многокутник

Многокутник називають правильним, якщо всі його сторони рівні та всі кути рівні.

Властивості правильних многокутників

⚡Теорема — Теорема 7.1 — Опуклість

Правильний многокутник є опуклим многокутником.

⚡Теорема — Теорема 7.2 — Вписане й описане кола

Будь-який правильний многокутник є як вписаним у коло, так і описаним навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.

Цю спільну точку називають центром правильного многокутника.

Центральний кут і формули радіусів

Розглянемо правильний $n$ -кутник зі стороною $a_n$ , радіусом описаного кола $R_n$ і радіусом вписаного кола $r_n$ .

Кут $\angle AOB$ , де $O$ — центр, а $AB$ — сторона, називають центральним кутом:

$\angle AOB = \frac{360°}{n}$

Проведемо висоту $OM$ з центра на сторону $AB$ : $\angle AOM = \angle BOM = \dfrac{180°}{n}$ і $AM = \dfrac{a_n}{2}$ .

З прямокутного трикутника $OMB$ :

$\boxed{R_n = \frac{a_n}{2\sin\dfrac{180°}{n}}}, \qquad \boxed{r_n = \frac{a_n}{2\operatorname{tg}\dfrac{180°}{n}}}$

Переміщуйте повзунок, щоб дослідити, як вписане й описане кола пов’язані з многокутником зі збільшенням кількості сторін:

n = 6 sides

n = 6R = 2.000r = 1.732a = 2.000central∠ = 60.0°interior∠ = 120.0°area = 10.392

Формули для поширених многокутників

$n$	Радіус описаного $R_n$	Радіус вписаного $r_n$
$3$ (трикутник)	$R_3 = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$	$r_3 = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$4$ (квадрат)	$R_4 = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$	$r_4 = \dfrac{a}{2}$
$6$ (шестикутник)	$R_6 = a$	$r_6 = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Ключовий факт: Для правильного шестикутника сторона дорівнює радіусу описаного кола: $a_6 = R_6$ .

Побудова правильних многокутників

Правильний шестикутник: Починаючи з довільної точки $M$ на колі, послідовно відкладаємо хорди, рівні радіусу. Отримаємо $6$ вершин правильного шестикутника.

Квадрат: Проведемо два взаємно перпендикулярні діаметри $AC$ і $BD$ . Кінці цих діаметрів $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — вершини квадрата.

Правильний трикутник: З’єднаємо через одну вершини правильного шестикутника.

Якщо побудовано правильний $n$ -кутник, правильний $2n$ -кутник отримаємо, знайшовши середини всіх дуг між сусідніми вершинами та додавши їх як нові вершини.

✎Приклад — Знаходження описаного шестикутника

У коло вписано правильний трикутник зі стороною $18$ см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

Розв’язання. Радіус описаного кола трикутника: $R_3 = \dfrac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Радіус вписаного кола описаного шестикутника дорівнює $R_3 = 6\sqrt{3}$ см.

Оскільки $r_6 = \dfrac{b\sqrt{3}}{2}$ , де $b$ — сторона шестикутника: $b = \dfrac{2r_6}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см. $\blacktriangleleft$

Золотий перетин

При побудові правильного п’ятикутника відношення діагоналі до сторони дорівнює:

$\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}618$

Це число, що позначається грецькою літерою $\varphi$ , називають золотим перетином (або золотим числом).

✎Приклад — Правильний многокутник із заданим кутом

Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює $177°$ ? Якщо так, укажіть його вид.

Розв’язання. Для правильного $n$ -кутника кожен кут дорівнює $\dfrac{180°(n-2)}{n}$ .

Прирівняємо до $177°$ : $180°(n-2) = 177°n \implies 360° = 3n \implies n = 120$ .

Відповідь: Так — правильний $120$ -кутник. $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Правильний шестикутник має радіус описаного кола $R = 10$ см. Знайдіть його сторону, радіус вписаного кола та площу.

✏Вправа

У коло радіуса $6$ см вписано правильний трикутник. Знайдіть сторону трикутника і радіус вписаного в нього кола.

Підказка: Використайте $R_3 = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ , щоб знайти $a$ , потім $r_3 = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ .

✏Вправа

Кут правильного многокутника дорівнює $150°$ . Скільки сторін він має?