Довжина кола. Площа круга

Довжина кола

Вписуючи в коло правильні $n$ -кутники зі збільшенням $n$ , їх периметри наближаються до довжини кола. Для двох кіл з радіусами $R$ і $R'$ виконується $\dfrac{C}{C'} = \dfrac{2R}{2R'}$ , тобто відношення $\dfrac{C}{2R}$ однакове для всіх кіл.

Це спільне відношення позначають $\pi$ (читають «пі»):

$\boxed{C = 2\pi R}$

Число $\pi$ є ірраціональним: $\pi = 3{,}14159265\ldots$ При обчисленнях зазвичай вважають $\pi \approx 3{,}14$ .

Давньогрецький учений Архімед (III ст. до н. е.) довів, що $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ , зокрема, що $\pi > 3{,}14$ .

Довжина дуги кола

Коло радіуса $R$ має довжину $2\pi R$ , що відповідає $360°$ . Дуга в $n°$ має довжину:

$\boxed{l = \frac{\pi R n}{180}}$

✎Приклад — Знаходження градусної міри дуги

Довжина дуги кола, радіус якого дорівнює $25$ см, дорівнює $\pi$ см. Знайдіть градусну міру цієї дуги.

Розв’язання. З формули $l = \dfrac{\pi R n}{180}$ : $n = \dfrac{180l}{\pi R} = \dfrac{180\pi}{25\pi} = 7{,}2°$ . $\blacktriangleleft$

Площа круга

Використовуючи ту саму ідею з вписаними многокутниками, отримаємо формулу площі круга радіуса $R$ :

$\boxed{S = \pi R^2}$

Змінюйте центральний кут, щоб побачити, як оновлюються сектор (синій), трикутник OAB (червоний) та сегмент (їхня різниця):

n (arc) = 90.0°

n = 90°arc l = 3.142sector S = 3.142△ S = 2.000segment S = 1.142

Круговий сектор

📐Означення — Круговий сектор

Круговий сектор (або просто сектор) — це фігура, обмежена двома радіусами і дугою між ними.

Повний круг має площу $\pi R^2$ і відповідає $360°$ . Сектор з дугою $n°$ має площу:

$\boxed{S_{\text{сект}} = \frac{\pi R^2 n}{360}}$

Круговий сегмент

📐Означення — Круговий сегмент

Круговий сегмент — це фігура, обмежена хордою та дугою, яку вона стягує.

Площа сегмента:

Менший сегмент (дуга менше півкола): $S_{\text{сег}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle AOB}$ , де $O$ — центр.
Більший сегмент: $S_{\text{сег}} = S_{\text{сект}} + S_{\triangle AOB}$ (для сектора з рефлексним кутом).

Площа трикутника $AOB$ з $OA = OB = R$ і центральним кутом $\angle AOB = \varphi$ :

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}R^2\sin\varphi$

Півкруг

Півкруг — сегмент, хорда якого є діаметром:

$S_{\text{півкруга}} = \frac{\pi R^2}{2}$

✎Приклад — Площі сектора та сегмента

У колі з центром $O$ і радіусом $8$ см вписано правильний восьмикутник $ABCDEFMK$ . Знайдіть площі сектора та сегмента, що містять дугу $AB$ .

Розв’язання. Центральний кут правильного восьмикутника: $\dfrac{360°}{8} = 45°$ .

Площа сектора: $S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 64 \cdot 45}{360} = 8\pi$ см².

Площа сегмента: $S_{\text{сег}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle AOB} = 8\pi - \dfrac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin 45° = 8\pi - 16\sqrt{2}$ см². $\blacktriangleleft$

Зведена таблиця

Величина	Формула
Довжина кола	$C = 2\pi R$
Довжина дуги ( $n°$ )	$l = \dfrac{\pi R n}{180}$
Площа круга	$S = \pi R^2$
Площа сектора ( $n°$ )	$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$
Площа півкруга	$S = \dfrac{\pi R^2}{2}$
Площа сегмента	$S_{\text{сект}} - \dfrac{1}{2}R^2\sin\varphi$

Вправи

✏Вправа

Сектор має центральний кут $72°$ і радіус $15$ см. Знайдіть довжину дуги та площу сектора.

✏Вправа

Довжина кола дорівнює $20\pi$ см. Знайдіть площу сектора з центральним кутом $54°$ .

✏Вправа

Знайдіть площу сегмента, що відтинається хордою, яка стягує центральний кут $90°$ у колі радіуса $8$ см.

Підказка: $S_{\text{сег}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle AOB}$ .