Математичне моделювання

Результат такого перекладу називають математичною моделлю, а саму задачу — прикладною задачею.

Галузь математики, яка займається побудовою та вивченням математичних моделей, називають математичним моделюванням.

Насправді розв’язування прикладної задачі складається з трьох етапів:

1. Побудова математичної моделі — переклад задачі на мову математики (рівняння, нерівності, системи тощо).
2. Розв’язання математичної задачі — знаходження значень виразів, розв’язування рівнянь, нерівностей та їхніх систем, побудова графічних об’єктів тощо.
3. Аналіз результату — запис отриманого результату мовою прикладної задачі та перевірка відповідності умовам задачі.

Умова задачі. Маса дерев’яної балки становить 120 кг, а маса залізної балки — 140 кг, причому залізна балка на 1 м коротша від дерев’яної. Яка довжина кожної балки, якщо маса 1 м залізної балки на 5 кг більша за масу 1 м дерев’яної?

Розв’язання.

I етап. Побудова математичної моделі.

Нехай довжина дерев’яної балки дорівнює $x$ м, тоді довжина залізної становить $(x - 1)$ м.

Маса 1 м дерев’яної балки дорівнює $\dfrac{120}{x}$ кг, а маса 1 м залізної — $\dfrac{140}{x-1}$ кг.

Тоді різниця $\dfrac{140}{x-1} - \dfrac{120}{x}$ показує, на скільки маса одного метра залізної балки більша за масу одного метра дерев’яної балки.

За умовою задачі ця різниця дорівнює 5 кг. Тоді отримуємо рівняння:

$\frac{140}{x-1} - \frac{120}{x} = 5$

Це рівняння і є математичною моделлю даної прикладної задачі.

II етап. Розв’язання рівняння.

$\frac{140}{x-1} - \frac{120}{x} = 5; \quad \frac{28}{x-1} - \frac{24}{x} = 1$

$28x - 24(x-1) = x^2 - x, \quad x \neq 0, \quad x \neq 1$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

$x = 8 \quad \text{або} \quad x = -3$

III етап. Аналіз результату.

Корінь $x = -3$ не задовольняє умову задачі, оскільки довжина не може виражатися від’ємним числом.

Отже, довжина дерев’яної балки дорівнює 8 м, а довжина залізної — 7 м.

Відповідь: 8 м, 7 м.

Умова задачі. Із двох пунктів, відстань між якими дорівнює 18 км, вирушили одночасно назустріч одна одній дві туристки й зустрілися через 2 год. З якою швидкістю йшла кожна туристка, якщо для подолання всієї відстані між пунктами одній із них потрібно на 54 хв більше, ніж другій?

Розв’язання.

Нехай швидкість першої туристки дорівнює $x$ км/год, а другої — $y$ км/год, $x < y$. До зустрічі перша туристка пройшла $2x$ км, а друга — $2y$ км. Разом вони пройшли 18 км. Тоді:

$2x + 2y = 18$

Відстань між пунктами перша туристка проходить за $\dfrac{18}{x}$ год, а друга — за $\dfrac{18}{y}$ год. Оскільки першій туристці для подолання цієї відстані потрібно на $54 \text{ хв} = \dfrac{9}{10} \text{ год}$ більше, ніж другій, то:

$\frac{18}{x} - \frac{18}{y} = \frac{9}{10}$

Отримуємо систему рівнянь:

$\begin{cases} 2x + 2y = 18, \\ \dfrac{18}{x} - \dfrac{18}{y} = \dfrac{9}{10}. \end{cases}$

$\begin{cases} x + y = 9, \\ \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{10}; \end{cases} \quad \begin{cases} x = 9 - y, \\ \dfrac{2}{9-y} - \dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{10}. \end{cases}$

Розв’язавши друге рівняння останньої системи, отримуємо: $y_1 = 5$, $y_2 = -36$. Корінь $-36$ не підходить за змістом задачі. Отже, $y = 5$, $x = 4$.

Відповідь: 4 км/год, 5 км/год.

Умова задачі. Двоє робітників можуть разом виконати деяку роботу за 10 днів. Після 6 днів спільної роботи одного з них перевели на іншу роботу, а другий продовжував працювати. Через 2 дні самостійної роботи другого з’ясувалося, що зроблено $\dfrac{2}{3}$ всієї роботи. За скільки днів кожний робітник може виконати всю роботу?

Розв’язання.

Нехай перший робітник може виконати всю роботу за $x$ днів, а другий — за $y$ днів. За 1 день перший робітник виконує $\dfrac{1}{x}$ частину роботи, а за 10 днів — $\dfrac{10}{x}$ частину роботи.

Другий робітник за 1 день виконує $\dfrac{1}{y}$ частину роботи, а за 10 днів — $\dfrac{10}{y}$ частину роботи. Оскільки за 10 днів спільної праці вони виконують усю роботу, то:

$\frac{10}{x} + \frac{10}{y} = 1$

Перший робітник працював 6 днів і виконав $\dfrac{6}{x}$ частину роботи, а другий працював 8 днів і виконав $\dfrac{8}{y}$ частину роботи. Оскільки внаслідок цього було виконано $\dfrac{2}{3}$ роботи, то:

$\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{2}{3}$

Отримали систему рівнянь:

$\begin{cases} \dfrac{10}{x} + \dfrac{10}{y} = 1, \\ \dfrac{6}{x} + \dfrac{8}{y} = \dfrac{2}{3}, \end{cases}$

розв’язком якої є пара чисел $x = 15$, $y = 30$.

Отже, перший робітник може виконати всю роботу за 15 днів, а другий — за 30 днів.

Відповідь: 15 днів, 30 днів.

Умова задачі. Кожний з учасників математичної вікторини отримав одну з оцінок 9 балів, 10 балів, 11 балів, 12 балів. Оцінки «9», «10», «12» виставлено однаковій кількості учасників, а оцінку «11» було поставлено більше, ніж решту оцінок, узятих разом. Оцінку вище «10» отримало менше 10 учасників. Скільки учасників отримали оцінку «10» і скільки — оцінку «11», якщо у вікторині брало участь не менше 12 осіб?

Розв’язання.

Нехай оцінки «9», «10», «12» отримало по $x$ учасників, а оцінку «11» — $y$ учасників.

Оскільки оцінку «11» було отримано більше, ніж решту оцінок, узятих разом, то $y > 3x$.

Оцінку вище «10» отримало менше 10 учасників, тому $x + y < 10$.

Оскільки у вікторині брало участь не менше 12 осіб, то $3x + y \geqslant 12$.

Отримали систему нерівностей:

$\begin{cases} y > 3x, \\ x + y < 10, \\ 3x + y \geqslant 12. \end{cases}$

Звідси $x + y > x + 3x = 4x$. Тоді $4x < 10$; $x < 2{,}5$.

Оскільки $x$ — ціле невід’ємне число, то з нерівності $x < 2{,}5$ випливає, що $x = 0$, або $x = 1$, або $x = 2$.

При $x = 0$ отримуємо систему $y > 0$, $y < 10$, $y \geqslant 12$, яка не має розв’язків.

При $x = 1$ отримуємо систему $y > 3$, $y < 9$, $y \geqslant 9$, яка також не має розв’язків.

При $x = 2$ маємо: $y > 6$, $y < 8$, $y \geqslant 6$. Звідси $y = 7$.

Отже, оцінку «10» отримали 2 учасники, оцінку «11» — 7 учасників.

Відповідь: 2 учасники, 7 учасників.

Умова задачі. Авіалінію, яка сполучає міста $A$ і $B$, обслуговують літаки трьох типів. Кожний літак першого, другого та третього типів може прийняти відповідно 230, 100 і 40 пасажирів. Усі літаки лінії можуть одночасно перевезти 760 пасажирів. Скільки літаків кожного типу обслуговують цю авіалінію?

Розв’язання.

Позначимо через $x$, $y$, $z$ кількість літаків першого, другого, третього типу відповідно. Тоді отримуємо рівняння:

$230x + 100y + 40z = 760$

яке треба розв’язати в натуральних числах, тобто прийняти за відповідь тільки ті розв’язки, які є натуральними числами.

$\begin{cases} 23x + 10y + 4z = 76, \\ x \in \mathbb{N}, \quad y \in \mathbb{N}, \quad z \in \mathbb{N}. \end{cases}$

Маємо: $23x = 76 - (10y + 4z)$. Оскільки $y \geqslant 1$ і $z \geqslant 1$, то $10y + 4z \geqslant 14$. Тоді $23x = 76 - (10y + 4z) \leqslant 62$. Звідси $x \leqslant \dfrac{62}{23}$. Із рівняння системи випливає, що $x$ — парне число. Отже, $x = 2$.

З урахуванням знайденого значення $x$ отримуємо систему:

$\begin{cases} 10y + 4z = 30, \\ y \in \mathbb{N}, \quad z \in \mathbb{N}. \end{cases}$

$\begin{cases} 5y + 2z = 15, \\ y \in \mathbb{N}, \quad z \in \mathbb{N}. \end{cases}$

З рівняння отриманої системи випливає, що $z$ — число, яке кратне 5. Крім того, $2z = 15 - 5y \leqslant 10$. Звідси $z \leqslant 5$, а отже, $z = 5$, $y = 1$.

Відповідь: 2 літаки, 1 літак, 5 літаків.

Два мотоциклісти виїхали одночасно з міст $A$ і $B$ назустріч один одному. Через годину вони зустрілися та, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один із них прибув у місто $A$ на 35 хв раніше, ніж другий — у місто $B$. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста, якщо відстань між містами становить 140 км.

Човен проплив по річці від пристані $A$ до пристані $B$ й повернувся назад за 6 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо 2 км за течією річки човен пропливає за той самий час, що й 1 км проти течії, а відстань між пристанями $A$ і $B$ становить 16 км.

Вартість доставки на будівництво однієї машини піску становить 1000 грн, а машини щебінки — 1600 грн. За день планується зробити 50 рейсів, причому транспортні витрати не мають перевищувати 59 000 грн. Скільки машин щебінки може бути доставлено за день?

На змаганнях зі стрільби кожний учасник робить 25 пострілів. За кожний вдалий постріл він отримує 4 бали, а за кожний промах знімається 2 бали. Скільки промахів може зробити стрілець, щоб набрати не менше ніж 60 балів?