Відсоткові розрахунки

Починаючи з п’ятого класу, вам доводилося розв’язувати багато прикладних задач на відсотки (проценти). Ви знайомі з такими типами задач на відсотки:

знаходження відсотка від числа;
знаходження числа за його відсотком;
знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Три основні типи задач на відсотки

Ви вмієте конструювати математичні моделі цих задач за допомогою таких виразів:

📐Визначення — Основні формули відсотків

$\dfrac{a \cdot p}{100}$ — знаходження $p\,\%$ від числа $a$ ;
$\dfrac{a \cdot 100}{p}$ — знаходження числа, $p\,\%$ якого дорівнюють $a$ ;
$\dfrac{a}{b} \cdot 100\,\%$ — знаходження відсоткового відношення числа $a$ до числа $b$ .

Формула складних відсотків

Розглянемо прикладну задачу, яку часто доводиться розв’язувати банківським працівникам, а також тим, хто зберігає гроші в банку під відсотки.

✎Приклад — Банківський вклад

Умова задачі. Вкладник поклав у банк 100 000 грн під 10 % річних. Яка сума буде на його рахунку через 7 років за умови, що вкладник протягом цього строку не знімає гроші з рахунку?

Розв’язання.

Нехай $a_0$ — початковий капітал вкладника, тобто $a_0 = 100\,000$ грн.

Позначимо через $a_1, a_2, \ldots, a_7$ кількість грошей на рахунку відповідно в кінці першого, другого, …, сьомого років.

У кінці першого року початковий капітал $a_0$ зріс на 10 %. Отже, число $a_1$ становить 110 % від початкового капіталу $a_0$ . Тоді:

$a_1 = a_0 \cdot 1{,}1 = 100\,000 \cdot 1{,}1 = 110\,000 \text{ (грн)}$

У кінці другого року число $a_1$ , у свою чергу, збільшилося на 10 %. Отже, число $a_2$ становить 110 % від числа $a_1$ . Тоді:

$a_2 = a_1 \cdot 1{,}1 = a_0 \cdot 1{,}1^2 = 110\,000 \cdot 1{,}1 = 121\,000 \text{ (грн)}$

У кінці третього року число $a_2$ збільшилося на 10 %. Отже, число $a_3$ становить 110 % від числа $a_2$ . Тоді:

$a_3 = a_2 \cdot 1{,}1 = a_0 \cdot 1{,}1^3 = 100\,000 \cdot 1{,}1^3 = 133\,100 \text{ (грн)}$

Тепер стає зрозумілим, що:

$a_7 = a_0 \cdot 1{,}1^7 = 100\,000 \cdot 1{,}1^7 = 194\,871{,}71 \text{ (грн)}$

Відповідь: 194 871,71 грн.

Аналогічно розв’язують задачу в загальному вигляді, коли початковий капітал, який дорівнює $a_0$ , поклали в банк під $p$ % річних.

Справді, у кінці першого року початковий капітал збільшиться на $\dfrac{a_0 \cdot p}{100}$ і дорівнюватиме:

$a_1 = a_0 + \frac{a_0 \cdot p}{100} = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)$

тобто збільшиться в $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ разів.

Зрозуміло, що в кінці другого року сума знову зросте в $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ разів і дорівнюватиме:

$a_2 = a_1\left(1 + \frac{p}{100}\right) = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Отже, у кінці $n$ -го року матимемо:

⚡Формула — Формула складних відсотків

$a_n = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

де $a_0$ — початковий капітал, $p$ — відсоткова ставка, $n$ — кількість років, $a_n$ — сума після $n$ років.

Отриману формулу називають формулою складних відсотків.

Як уникнути неоднозначності в задачах на відсоткові розрахунки

Задачі, у яких ідеться про зміну процентних ставок, можуть викликати певні ускладнення. Відсоткова ставка — така сама величина, як і інші змінні величини: швидкість, відстань, ціна тощо. Єдина відмінність полягає в тому, що сама ця величина виражена також у відсотках. Тому ситуація, коли доводиться говорити про зміни цієї величини, припускає неоднозначне тлумачення.

Порівняємо:

Підвищення ціни $x$	Підвищення відсоткової ставки $x$	Математична модель
Ціна підвищилася на 10 грн	Відсоткова ставка підвищилася на 10 %	$x + 10$
Ціна підвищилася на 10 %	Відсоткова ставка підвищилася на 10 %	$1{,}1x$

Бачимо, що у випадку відсоткової ставки словесний опис для різних математичних моделей виявився однаковим.

📐Визначення — Відсоткові пункти (процентні пункти)

Щоб уникнути цієї неоднозначності, в економіці та інших областях, де широко застосовують відсоткові розрахунки, використовують поняття «процентні пункти» (відсоткові пункти).

Наприклад: у дев’ятих класах навчається 100 дітей, з яких 20 % на початок навчального року були відмінниками.

Якщо кажемо, що на кінець року кількість відмінників зросла на 5 %, то це означає, що кількість відмінників (виражена кількістю людей) збільшилася на 5 % від цієї величини. Кількість відмінників у цьому прикладі становила 20 осіб; коли ця кількість зросла на 5 %, то вже становила 21 особу.
Якщо хочемо сказати, що показник «20 %» збільшився й тепер дорівнює «25 %», то потрібно вживати слова «процентних пунктів»: «на кінець року кількість відмінників збільшилася на 5 процентних пунктів». За такого формулювання кількість відмінників на кінець року становитиме 25 осіб.

Процентні пункти часто позначають так: «п. п.».

Для порівняння відсоткових ставок, різниця між якими дуже мала, введено ще одну умовну одиницю: базисний пункт, який дорівнює 0,01 процентного пункту (іншими словами, в одному процентному пункті 100 базисних пунктів). Його позначають так: «б. п.» або ‰.

Вправи

✏Вправа 21.1

Ціну на товар підвищили на 25 %. На скільки відсотків тепер потрібно її знизити, щоб отримати початкову ціну?

✏Вправа 21.2

Вкладник поклав до банку 5000 грн під 8 % річних. Скільки грошей буде на його рахунку через три роки?

✏Вправа 21.3

Чотири роки тому завод виготовляв 10 000 одиниць певного виробу за рік. Завдяки модернізації виробництва та підвищенню продуктивності праці досягли щорічного приросту обсягів виробництва на 20 %. Скільки одиниць указаного виробу буде виготовлено цього року?

✏Вправа 21.8

Було 300 г 6-відсоткового розчину солі. Через деякий час 50 г води випарували. Яким став відсотковий вміст солі в розчині?