Нерівності з двома змінними

Рівняння $2x + y = 4$ описує пряму — тонкий одновимірний об’єкт. Але що станеться, якщо замінити знак рівності на нерівність? Замість прямої ми отримаємо цілу область координатної площини.

Півплощини

📐Визначення — Нерівність з двома змінними

Нерівність з двома змінними має вигляд $ax + by \leq c$ (або $\geq$ , $<$ , $>$ ). Її множина розв’язків — це множина всіх точок $(x, y)$ , що задовольняють нерівність.

Гранична пряма $ax + by = c$ ділить площину на дві півплощини. Кожна точка однієї півплощини задовольняє нерівність, кожна точка іншої — ні.

Гранична пряма входить до множини розв’язків, якщо нерівність нестрога ( $\leq$ або $\geq$ ) — тоді її креслять суцільною лінією. Якщо нерівність строга ( $<$ або $>$ ), межу креслять штриховою лінією.

Метод контрольної точки

⚡Теорема — Метод контрольної точки

Щоб побудувати графік $ax + by \leq c$ (або будь-якого іншого варіанту):

Накресліть граничну пряму $ax + by = c$ . Суцільна лінія для $\leq$ або $\geq$ ; штрихова для $<$ або $>$ .
Оберіть контрольну точку, яка не лежить на прямій — найпростіше $(0,0)$ , якщо пряма не проходить через початок координат.
Підставте контрольну точку в нерівність. Якщо нерівність виконується — заштрихуйте ту півплощину, де лежить контрольна точка. Інакше — заштрихуйте протилежну сторону.

Для типового випадку $ax + by \leq c$ : підставляємо $(0,0)$ і отримуємо $0 \leq c$ . Тобто якщо $c \geq 0$ , початок координат належить до області розв’язків.

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Нестрога нерівність

Побудуйте графік $2x + y \leq 4$ .

Розв’язання.

Граничну пряму $2x + y = 4$ знаходимо за точками перетину з осями: $(2, 0)$ і $(0, 4)$ . Креслимо суцільну лінію (бо $\leq$ ).
Перевіряємо $(0, 0)$ : $2(0) + 0 = 0 \leq 4$ — так.
Заштриховуємо сторону, де лежить початок координат (нижче та лівіше прямої).

Множина розв’язків — півплощина під суцільною прямою $2x + y = 4$ , включно з самою прямою.

✎Приклад — Приклад 2 — Строга нерівність

Побудуйте графік $x - 2y > 3$ .

Розв’язання.

Гранична пряма $x - 2y = 3$ . Точки перетину: $(3, 0)$ і $(0, -\tfrac{3}{2})$ . Креслимо штрихову лінію (строга нерівність $>$ ).
Перевіряємо $(0, 0)$ : $0 - 2(0) = 0 > 3$ ? — ні.
Заштриховуємо сторону, протилежну до початку координат (нижче та правіше прямої).

Множина розв’язків — відкрита півплощина по інший бік штрихової прямої від початку координат.

Інтерактивний провідник

Скористайтесь провідником, щоб візуалізувати півплощину для різних коефіцієнтів.

Inequality 1: 1x + 1y <= 3

a=b=c=

Inequality 2: -1x + 2y >= 2

a=b=c=

Show second inequality

Особливі випадки

ℹПримітка — Горизонтальні та вертикальні півплощини

Деякі нерівності містять лише одну змінну:

$x > 2$ визначає вертикальну півплощину — все праворуч від вертикальної прямої $x = 2$ (штрихова).
$y \leq -1$ визначає горизонтальну півплощину — все на рівні або нижче горизонтальної прямої $y = -1$ (суцільна).

Метод контрольної точки застосовується так само, лише гранична пряма є вертикальною або горизонтальною.

Практика

✏Вправа — Побудуйте графік нерівності

Побудуйте графік нерівності $-x + 2y \geq 0$ .

Підказка: Гранична пряма проходить через початок координат, тому $(0,0)$ не можна використати як контрольну точку. Спробуйте $(1, 0)$ або $(0, 1)$ .