Середні величини та нерівність Коші-Буняковського

Дві з найпотужніших і найуживаніших нерівностей у математиці — це нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (AM-GM) та нерівність Коші-Буняковського. Вони зустрічаються всюди — від олімпіадних задач до оптимізації, від теорії ймовірностей до фізики.

Середнє арифметичне та середнє геометричне

📐Визначення — Середнє арифметичне та геометричне

Для додатних дійсних чисел $a$ і $b$ :

Середнє арифметичне (AM) дорівнює $\dfrac{a + b}{2}$ .
Середнє геометричне (GM) дорівнює $\sqrt{ab}$ .

⚡Теорема — Нерівність між AM та GM

Для всіх додатних дійсних чисел $a, b$ :

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

причому рівність виконується тоді й тільки тоді, коли $a = b$ .

Доведення.

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ $a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \square$

Геометрична інтерпретація

Розглянемо півколо з діаметром $a + b$ . Розташуємо діаметр вздовж осі $x$ , де точка поділу знаходиться на відстані $a$ від лівого кінця. Висота з цієї точки до півкола має довжину $\sqrt{ab}$ (середнє геометричне), а радіус дорівнює $\dfrac{a+b}{2}$ (середнє арифметичне). Оскільки радіус завжди не менший за будь-яку висоту в межах півкола, AM $\geq$ GM.

ℹПримітка — Узагальнення на n змінних

Для додатних дійсних чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ :

$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$

причому рівність виконується тоді й тільки тоді, коли всі $a_i$ рівні. (Наведено без доведення.)

Застосування AM-GM

✎Приклад — Мінімізація суми

Для додатного $x$ знайдіть мінімальне значення $x + \dfrac{1}{x}$ .

Розв’язання. За нерівністю AM-GM:

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$

Рівність виконується, коли $x = \dfrac{1}{x}$ , тобто $x = 1$ . Мінімальне значення дорівнює $\boxed{2}$ .

✎Приклад — Максимізація добутку

Якщо $a + b = 10$ при $a, b > 0$ , знайдіть максимальне значення $ab$ .

Розв’язання. За нерівністю AM-GM:

$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Піднесемо до квадрату: $ab \leq 25$ . Рівність виконується при $a = b = 5$ . Максимальне значення дорівнює $\boxed{25}$ .

Нерівність Коші-Буняковського

⚡Теорема — Нерівність Коші-Буняковського

Для всіх дійсних чисел $a_1, a_2, b_1, b_2$ :

$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$

причому рівність виконується тоді й тільки тоді, коли $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}$ (вектори $(a_1, a_2)$ і $(b_1, b_2)$ пропорційні).

Доведення. Почнемо з невід’ємного квадрату:

$(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \geq 0$

Розкриємо:

$a_1^2 b_2^2 - 2a_1 a_2 b_1 b_2 + a_2^2 b_1^2 \geq 0$

Додамо $a_1^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2$ до обох частин:

$a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_1^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2 \geq 2a_1 a_2 b_1 b_2 + a_1^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2$

Розкладемо на множники:

$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \quad \square$

ℹПримітка — Форма для n змінних

Для дійсних чисел $a_1, \ldots, a_n$ і $b_1, \ldots, b_n$ :

$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)$

Застосування нерівності Коші-Буняковського

✎Приклад — Оптимізація з обмеженням

Дано $x^2 + y^2 = 1$ . Знайдіть максимальне значення $3x + 4y$ .

Розв’язання. За нерівністю Коші-Буняковського:

$(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25 \cdot 1 = 25$

Отже, $3x + 4y \leq 5$ . Максимум дорівнює $\boxed{5}$ і досягається при $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ , тобто $x = \dfrac{3}{5}$ , $y = \dfrac{4}{5}$ .

Практика

✏Вправа — Застосуйте нерівність Коші-Буняковського

Дано $x^2 + y^2 = 4$ . Знайдіть максимальне значення $2x + 6y$ .

Підказка: Застосуйте нерівність Коші-Буняковського з векторами $(2, 6)$ і $(x, y)$ .