Методи доведення нерівностей

Перетворюйте нерівність крок за кроком, використовуючи рівносильні операції, доки не отримаєте очевидно істинне (або очевидно хибне) твердження. Основні правила:

• Додавання однакового числа до обох частин зберігає нерівність.
• Множення обох частин на додатну сталу зберігає нерівність.
• Множення обох частин на від’ємну сталу змінює знак нерівності.
• Якщо $a > b > 0$ і $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Довести, що $\dfrac{a^2 + b^2}{2} \geq ab$ для всіх дійсних чисел $a, b$.

Доведення. Розглянемо різницю:

$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0$

Оскільки $(a - b)^2$ є повним квадратом, воно завжди невід’ємне. Отже, $a^2 + b^2 \geq 2ab$, і поділивши обидві частини на $2$:

$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq ab \quad \square$

Щоб довести $A \geq B$, покажіть, що $A - B$ можна записати як суму квадратів або інший вираз, який очевидно $\geq 0$.

Довести, що $a^4 + b^4 \geq a^2 b^2 + a^2 b^2$ для всіх дійсних $a, b$.

Доведення. Обчислимо різницю:

$a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 = (a^2 - b^2)^2 \geq 0$

Оскільки $(a^2 - b^2)^2 \geq 0$, маємо $a^4 + b^4 \geq 2a^2 b^2$. $\square$

Щоб довести твердження $P$, припустимо $\neg P$ (протилежне). Виведемо логічну суперечність. Оскільки припущення призводить до неможливості, $P$ має бути істинним.

Довести, що якщо $a + b > 2$, то $a > 1$ або $b > 1$.

Доведення. Припустимо від супротивного, що $a \leq 1$ і $b \leq 1$. Тоді:

$a + b \leq 1 + 1 = 2$

Це суперечить умові $a + b > 2$. Отже, хоча б одне з чисел $a, b$ має бути більшим за $1$. $\square$

Розділіть задачу на вичерпні випадки. Доведіть нерівність в кожному випадку окремо. Об’єднання всіх випадків покриває всі можливості.

Довести, що $|a + b| \leq |a| + |b|$ для всіх дійсних $a, b$.

Доведення. Розглянемо випадки залежно від знаків $a$ і $b$.

Випадок 1: $a \geq 0$ і $b \geq 0$. Тоді $|a+b| = a+b = |a|+|b|$. Нерівність виконується з рівністю.

Випадок 2: $a < 0$ і $b < 0$. Тоді $|a+b| = -(a+b) = (-a)+(-b) = |a|+|b|$. Знову рівність.

Випадок 3: Різні знаки (нехай $a \geq 0$, $b < 0$; інший підвипадок симетричний). Тоді $|a+b| \leq \max(|a|, |b|) \leq |a| + |b|$, оскільки другий доданок невід’ємний.

У кожному випадку $|a + b| \leq |a| + |b|$. $\square$

Доведіть, що $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$ для всіх $a, b \geq 0$.

Підказка: Почніть з піднесення обох частин до квадрату (допустимо, бо обидві частини невід’ємні) і спростіть.