Прямі й площини в просторі

Аксіома 1. Через будь-які дві різні точки проходить єдина пряма.

Аксіома 2. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.

Аксіома 3. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то вся пряма лежить у цій площині.

Аксіома 4. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму (пряму їхнього перетину).

Нехай $a$ і $b$ — дві різні прямі в просторі.

• Прямі, що перетинаються: $a$ і $b$ лежать в одній площині й мають рівно одну спільну точку.
• Паралельні прямі ($a \parallel b$): $a$ і $b$ лежать в одній площині й не мають спільних точок.
• Мимобіжні прямі: $a$ і $b$ не мають спільних точок і не лежать в жодній спільній площині.

Дві прямі $a$ і $b$ є мимобіжними тоді й лише тоді, коли жодна площина не містить їх обох одночасно.

Доведення. Якщо прямі $a$ і $b$ перетинаються або паралельні, то за означенням вони компланарні — отже, не є мимобіжними. Навпаки, якщо кожна площина, що містить $a$, не містить хоча б однієї точки $b$, то прямі не мають спільної площини, а тому є мимобіжними. $\blacktriangleleft$

Кутом між мимобіжними прямими $a$ і $b$ називають кут між двома прямими $a'$ і $b'$, що перетинаються, паралельними відповідно до $a$ і $b$ і проведеними через будь-яку спільну точку. Цей кут належить проміжку $[0°,\, 90°]$.

Дві прямі (що перетинаються або мимобіжні) є перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює $90°$.

Нехай $\ell$ — пряма, $\alpha$ — площина.

• Пряма лежить у площині ($\ell \subset \alpha$): кожна точка $\ell$ належить $\alpha$.
• Пряма паралельна до площини ($\ell \parallel \alpha$): $\ell$ і $\alpha$ не мають спільних точок.
• Пряма перетинає площину: $\ell$ і $\alpha$ мають рівно одну спільну точку — основу перпендикуляра (або слід) прямої на площині.

Пряма $\ell$ перпендикулярна до площини $\alpha$ (пишуть $\ell \perp \alpha$), якщо вона перпендикулярна до кожної прямої в $\alpha$, що проходить через основу перпендикуляра.

Якщо пряма $\ell$ перпендикулярна до двох різних прямих $m$ і $n$, що лежать у площині $\alpha$ і проходять через основу $O = \ell \cap \alpha$, то $\ell \perp \alpha$.

Доведення (схема). Нехай $p$ — довільна пряма в $\alpha$, що проходить через $O$. Виберемо точки $A \in m$, $B \in n$, $C \in p$ і точку $P$ на $\ell$ вище $O$. З умови $PA \perp OA$ і $PB \perp OB$. За допомогою рівних трикутників доводиться, що $PC = OC$ (відстані від $P$ до точок прямої $p$, рівновіддалених від $O$, однакові), а отже $\angle POC = 90°$. Оскільки $p$ — довільна, $\ell \perp \alpha$. $\blacktriangleleft$

Нехай $\alpha$ і $\beta$ — дві різні площини.

• Паралельні площини ($\alpha \parallel \beta$): $\alpha$ і $\beta$ не мають спільних точок.
• Площини, що перетинаються: $\alpha$ і $\beta$ мають спільну пряму $\ell = \alpha \cap \beta$ (їхню лінію перетину), що гарантується аксіомою 4.

Якщо пряма $\ell$ перпендикулярна до кожної з двох площин $\alpha$ і $\beta$, то $\alpha \parallel \beta$.

Доведення. Припустимо, що $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по прямій $m$. Тоді $m$ лежить у $\alpha$, тому $\ell \perp m$. Водночас $m$ лежить у $\beta$, тому $\ell \perp m$. Але пряма $m$ мала б лежати в обох площинах і проходити через основу $\ell$, що суперечить припущенню про перетин. Отже, $\alpha \parallel \beta$. $\blacktriangleleft$

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома напівплощинами (гранями), що мають спільну граничну пряму (ребро). Для вимірювання двогранного кута беруть довільну точку $P$ на ребрі й проводять у кожній грані промінь, перпендикулярний до ребра в точці $P$. Кут між цими двома променями і є мірою двогранного кута.

У прямокутному паралелепіпеді $ABCDA'B'C'D'$ (де $AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD'$) визначте, чи є прямі $AB$ і $A'D'$ мимобіжними, паралельними чи такими, що перетинаються.

Розв’язання. Пряма $AB$ лежить у нижній основі $ABCD$, а $A'D'$ — у верхній основі $A'B'C'D'$. Ці основи паралельні й різні.

Перевіримо наявність спільної точки: усі точки $AB$ мають $z = 0$, усі точки $A'D'$ мають $z = h > 0$. Спільних точок немає.

Перевіримо, чи лежать вони в одній площині: $AB \parallel A'B'$ (протилежні ребра грані $ABB'A'$), але $A'D' \not\parallel A'B'$ (ці прямі мають спільну точку $A'$), тому $A'D'$ не паралельна $AB$. Оскільки прямі не перетинаються і не паралельні, $AB$ і $A'D'$ є мимобіжними прямими. $\blacktriangleleft$

У кубі зі стороною $a$ знайдіть кут між мимобіжними прямими $BD$ і $A'B'$.

Розв’язання. Оскільки $A'B' \parallel AB$, кут між $BD$ і $A'B'$ дорівнює куту між $BD$ і $AB$, тобто куту $\angle DBA$ в основі куба.

У квадраті $ABCD$ зі стороною $a$ діагональ $BD = a\sqrt{2}$. Трикутник $ABD$ — прямокутний рівнобедрений (бо $AB = AD = a$ і $\angle A = 90°$), тому $\angle DBA = 45°$.

Кут між мимобіжними прямими $BD$ і $A'B'$ дорівнює $\boxed{45°}$. $\blacktriangleleft$

У кубі $ABCDA'B'C'D'$ з ребром $a$ класифікуйте кожну пару прямих як такі, що перетинаються, паралельні або мимобіжні:

(а) $AC$ і $B'D'$; (б) $AB$ і $C'D'$; (в) $AC$ і $BD'$.

Пряма $\ell$ проходить через вершину $A$ трикутника $ABC$ і перпендикулярна до площини трикутника. Доведіть, що $\ell$ перпендикулярна до кожної прямої в площині $ABC$, що проходить через $A$.