Циліндр. Конус. Куля

Циліндр, конус і куля — класичні тіла обертання з круговою симетрією, що утворюються обертанням плоскої фігури навколо осі. Вони зустрічаються скрізь в інженерії, архітектурі й природі, а формули для їхніх поверхонь і об’ємів є одними з найважливіших у всій математиці.

Циліндр

📐Означення — Циліндр

Прямий круговий циліндр — тіло, обмежене двома рівними паралельними круговими основами радіуса $R$ і бічною поверхнею, що їх з’єднує.

Рівносильно: це тіло обертання, утворене обертанням прямокутника зі сторонами $R$ і $h$ навколо сторони завдовжки $h$ .

Висота циліндра — перпендикулярна відстань $h$ між основами. Вісь — відрізок, що з’єднує центри основ.

Площа поверхні циліндра

Бічна поверхня циліндра при розгортанні перетворюється на прямокутник шириною $2\pi R$ (довжина кола основи) і висотою $h$ :

$\boxed{S_{\text{біч}} = 2\pi R h}$

Додаючи обидві кругові основи, отримуємо повну площу поверхні:

$\boxed{S_{\text{повн}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(R + h)}$

Об’єм циліндра

Оскільки кожний перетин, паралельний основам, — коло радіуса $R$ з площею $\pi R^2$ , за принципом Кавальєрі:

$\boxed{V = \pi R^2 h}$

Конус

📐Означення — Конус

Прямий круговий конус — тіло з круговою основою радіуса $R$ , вершиною безпосередньо над центром основи на висоті $h$ , і бічною поверхнею, що з’єднує вершину з границею основи.

Рівносильно: тіло обертання, утворене обертанням прямокутного трикутника з катетами $R$ і $h$ навколо катета завдовжки $h$ .

Апофема $l$ — відстань від вершини до будь-якої точки кола основи:

$l = \sqrt{R^2 + h^2}$

Площа поверхні конуса

Бічна поверхня конуса при розгортанні утворює круговий сектор радіуса $l$ з довжиною дуги $2\pi R$ . Його площа:

$\boxed{S_{\text{біч}} = \pi R l}$

Повна площа поверхні включає кругову основу:

$\boxed{S_{\text{повн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(R + l)}$

Об’єм конуса

⚡Теорема — Об'єм конуса (Теорема 27.1)

Об’єм конуса дорівнює одній третині об’єму циліндра з тією самою основою і висотою:

$\boxed{V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h}$

Обґрунтування. Перетин конуса на висоті $t$ від основи — коло радіуса $R\!\left(1 - \dfrac{t}{h}\right)$ , площа якого $\pi R^2\!\left(1 - \dfrac{t}{h}\right)^{\!2}$ . Підсумовуючи ці площі від $0$ до $h$ , отримуємо $\dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ . $\blacktriangleleft$

Куля

📐Означення — Сфера і куля

Сфера радіуса $R$ з центром $O$ — це множина всіх точок простору, що знаходяться на відстані рівно $R$ від $O$ .

Куля (повна куля) радіуса $R$ — множина всіх точок на відстані не більше $R$ від центра: interior сфери разом із самою сферою.

Великим колом сфери називають будь-який перетин через центр; він має радіус $R$ і площу $\pi R^2$ .

Площа поверхні сфери

$\boxed{S = 4\pi R^2}$

Ця чудова формула — площа поверхні дорівнює площі чотирьох великих кіл — доведена Архімедом: бічна поверхня описаного циліндра тих самих радіуса $R$ і висоти $2R$ дорівнює $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ , і Архімед показав, що поверхня сфери дорівнює цій бічній поверхні.

Об’єм кулі

$\boxed{V = \dfrac{4}{3}\pi R^3}$

Виведення за принципом Кавальєрі. Розглянемо напівсферу радіуса $R$ і поряд із нею циліндр радіуса $R$ і висоти $R$ , з якого вирізано конус тієї самої основи і висоти. На висоті $t$ від основи:

Перетин напівсфери: коло радіуса $\sqrt{R^2 - t^2}$ , площа $= \pi(R^2 - t^2)$ .
Перетин циліндра без конуса: кільце із зовнішнім радіусом $R$ і внутрішнім $t$ , площа $= \pi R^2 - \pi t^2 = \pi(R^2 - t^2)$ .

Перетини збігаються на кожному рівні, тому за принципом Кавальєрі об’єми рівні. Об’єм циліндра без конуса: $\pi R^2 \cdot R - \tfrac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \tfrac{2}{3}\pi R^3$ . Подвоюємо для повної кулі: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ . $\blacktriangleleft$

Таблиця порівняння тіл обертання

Тіло	Площа бічної поверхні	Повна площа поверхні	Об’єм
Циліндр (радіус $R$ , висота $h$ )	$2\pi Rh$	$2\pi R(R+h)$	$\pi R^2 h$
Конус (радіус $R$ , висота $h$ , апофема $l$ )	$\pi Rl$	$\pi R(R+l)$	$\dfrac{1}{3}\pi R^2 h$
Куля (радіус $R$ )	—	$4\pi R^2$	$\dfrac{4}{3}\pi R^3$

Приклади розв’язування задач

✎Приклад — Приклад 1 — Циліндр

Циліндр має радіус основи $R = 5$ см і висоту $h = 12$ см. Знайдіть площу бічної поверхні, повну площу поверхні та об’єм.

Розв’язання.

$S_{\text{біч}} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi \approx 376{,}99 \text{ см}^2$

$S_{\text{повн}} = 2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 12) = 170\pi \approx 534{,}07 \text{ см}^2$

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}48 \text{ см}^3$

Відповідь: $S_{\text{біч}} = 120\pi$ см², $S_{\text{повн}} = 170\pi$ см², $V = 300\pi$ см³. $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Конус

Конус має радіус основи $R = 9$ см і висоту $h = 12$ см. Знайдіть апофему та площу бічної поверхні.

Розв’язання.

Апофема:

$l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$

Площа бічної поверхні:

$S_{\text{біч}} = \pi R l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi \approx 424{,}1 \text{ см}^2$

Відповідь: $l = 15$ см, $S_{\text{біч}} = 135\pi$ см². $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Куля в кубі

Куля радіуса $R$ вписана в куб (ребро куба дорівнює $2R$ ). Знайдіть відношення об’єму кулі до об’єму куба.

Розв’язання.

Об’єм кулі: $V_{\text{кулі}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ .

Об’єм куба: Ребро куба $a = 2R$ , тому $V_{\text{куба}} = (2R)^3 = 8R^3$ .

Відношення:

$\dfrac{V_{\text{кулі}}}{V_{\text{куба}}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \dfrac{4\pi}{24} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236$

Куля займає приблизно $52{,}4\%$ об’єму куба.

Відповідь: $\dfrac{V_{\text{кулі}}}{V_{\text{куба}}} = \dfrac{\pi}{6}$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Конус вписано в циліндр радіуса $R = 6$ см і висоти $h = 8$ см (вони мають спільну основу, а вершина конуса торкається верхньої основи циліндра). Знайдіть відношення об’єму конуса до об’єму циліндра.

✏Вправа

Площа поверхні сфери дорівнює $S = 100\pi$ см². Знайдіть: (а) радіус $R$ сфери; (б) об’єм кулі.