Пряма призма. Піраміда

Призми та піраміди — основні многогранники стереометрії. Їхня чітка структура — плоскі грані, прямолінійні ребра, многокутні основи — робить обчислення об’ємів і площ поверхонь систематичним і елегантним.

Призма

📐Означення — Призма

Призмою називають многогранник, що має дві рівні й паралельні многокутні грані — основи — з’єднані паралелограмними бічними гранями. Відрізки, що з’єднують відповідні вершини двох основ, — це бічні ребра.

Призма є прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У прямій призмі кожна бічна грань є прямокутником.

Висота $h$ призми — перпендикулярна відстань між основами (у прямій призмі дорівнює довжині бічного ребра).

Площа поверхні прямої призми

Якщо розгорнути бічну поверхню прямої призми, отримаємо прямокутник шириною, рівною периметру $P$ основи, і висотою $h$ :

$\boxed{S_{\text{біч}} = P \cdot h}$

Повна площа поверхні включає обидві основи:

$\boxed{S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}} + 2S_{\text{осн}} = Ph + 2S_{\text{осн}}}$

Об’єм прямої призми

⚡Теорема — Об'єм призми (Теорема 26.1)

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи на висоту:

$\boxed{V = S_{\text{осн}} \cdot h}$

Обґрунтування (принцип Кавальєрі). Кожний перетин призми, паралельний основам, рівний основі. За принципом Кавальєрі, два тіла однакової висоти з рівними площами перетинів на кожному рівні мають рівні об’єми. Тому об’єм прямої призми з площею основи $S_{\text{осн}}$ і висотою $h$ дорівнює $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ . $\blacktriangleleft$

Прямокутний паралелепіпед (Куб)

Пряма призма, основою якої є прямокутник зі сторонами $a$ і $b$ , а висота $c$ , називається прямокутним паралелепіпедом:

$V = abc, \qquad S_{\text{повн}} = 2(ab + bc + ca), \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

де $d$ — довжина просторової діагоналі.

Піраміда

📐Означення — Піраміда

Пірамідою називають многогранник з однією многокутною основою та точкою — вершиною — поза площиною основи, з’єднаною з кожним ребром основи трикутними бічними гранями.

Висота $h$ піраміди — перпендикуляр із вершини до площини основи (основа перпендикуляра — основа висоти).

📐Означення — Правильна піраміда

Піраміда є правильною, якщо її основа — правильний многокутник, а вершина проєктується перпендикулярно в центр основи.

У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники, а апофема $l$ — це висота будь-якої бічної грані (від вершини до середини ребра основи).

Площа бічної поверхні правильної піраміди

Бічна поверхня складається з $n$ рівних рівнобедрених трикутників з основою $a$ (сторона правильного $n$ -кутника) і висотою $l$ (апофема). Тому:

$\boxed{S_{\text{біч}} = \dfrac{1}{2} P \cdot l}$

де $P = na$ — периметр основи. Повна площа поверхні:

$S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}Pl + S_{\text{осн}}$

Об’єм піраміди

⚡Теорема — Об'єм піраміди (Теорема 26.2)

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту:

$\boxed{V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h}$

Обґрунтування (принцип Кавальєрі). Перетин піраміди на висоті $t$ від основи ( $0 \le t \le h$ ) подібний до основи з коефіцієнтом $1 - t/h$ , тому його площа дорівнює $S_{\text{осн}} \cdot \left(1 - \tfrac{t}{h}\right)^2$ . Інтегруючи від $0$ до $h$ , отримуємо $V = S_{\text{осн}} \cdot h \cdot \tfrac{1}{3}$ . $\blacktriangleleft$

Ключове спостереження: об’єм піраміди дорівнює одній третині об’єму призми з тією самою основою та висотою.

Зв’язок між апофемою, висотою та апофемою основи

У правильній піраміді з апофемою основи $r$ (радіус вписаного кола в основу) і висотою $h$ :

$l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Це випливає з прямокутного трикутника, утвореного основою висоти, серединою ребра основи (на відстані $r$ ) і вершиною (на висоті $h$ ).

Приклади розв’язування задач

✎Приклад — Приклад 1 — Пряма трикутна призма

Пряма трикутна призма має основу — правильний трикутник зі стороною $a = 6$ см і висоту $h = 10$ см. Знайдіть повну площу поверхні та об’єм.

Розв’язання.

Площа основи: Правильний трикутник зі стороною $a$ має площу $S_{\text{осн}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}$ см².

Периметр: $P = 3a = 18$ см.

Бічна поверхня: $S_{\text{біч}} = Ph = 18 \cdot 10 = 180$ см².

Повна поверхня: $S_{\text{повн}} = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3}$ см².

Об’єм: $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$ см³.

Відповідь: $S_{\text{повн}} = (180 + 18\sqrt{3})$ см², $V = 90\sqrt{3} \approx 155{,}9$ см³. $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Правильна чотирикутна піраміда

Правильна чотирикутна піраміда (основа — квадрат) має сторону основи $a = 8$ см і апофему $l = 10$ см. Знайдіть висоту піраміди та її об’єм.

Розв’язання.

Знаходимо $h$ : Апофема квадратної основи (відстань від центра до середини сторони) $r = \dfrac{a}{2} = 4$ см. З прямокутного трикутника (висота, апофема основи, апофема піраміди):

$l^2 = h^2 + r^2 \implies 100 = h^2 + 16 \implies h^2 = 84 \implies h = 2\sqrt{21} \text{ см}$

Площа основи: $S_{\text{осн}} = a^2 = 64$ см².

Об’єм:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 64 \cdot 2\sqrt{21} = \dfrac{128\sqrt{21}}{3} \approx 195{,}6 \text{ см}^3$

Відповідь: $h = 2\sqrt{21}$ см, $V = \dfrac{128\sqrt{21}}{3}$ см³. $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Правильна шестикутна піраміда

Правильна шестикутна піраміда має сторону основи $a = 6$ см і висоту $h = 8$ см. Знайдіть об’єм і площу бічної поверхні.

Розв’язання.

Площа основи: Правильний шестикутник зі стороною $a$ має площу $S_{\text{осн}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54\sqrt{3}$ см².

Об’єм:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 8 = 144\sqrt{3} \approx 249{,}4 \text{ см}^3$

Апофема: Апофема правильного шестикутника зі стороною $a$ дорівнює $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{64 + 27} = \sqrt{91} \text{ см}$

Периметр: $P = 6a = 36$ см.

Бічна поверхня:

$S_{\text{біч}} = \dfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sqrt{91} = 18\sqrt{91} \approx 171{,}7 \text{ см}^2$

Відповідь: $V = 144\sqrt{3}$ см³, $S_{\text{біч}} = 18\sqrt{91}$ см². $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Прямокутний паралелепіпед має розміри $3$ см $\times$ $4$ см $\times$ $5$ см. Знайдіть: (а) об’єм; (б) повну площу поверхні; (в) довжину просторової діагоналі.

✏Вправа

Правильна трикутна піраміда має сторону основи $a = 4$ см і бічні ребра завдовжки $l_e = 6$ см. Знайдіть висоту піраміди та її об’єм.