Рівняння з двома змінними

Рівняння з однією змінною, наприклад $2x = 6$ , має один розв’язок. Коли ми додаємо другу змінну, ситуація кардинально змінюється: одне рівняння з двома змінними, як правило, має нескінченно багато розв’язків.

Розв’язки як впорядковані пари

📐Визначення — Розв'язок рівняння з двома змінними

Розв’язком рівняння з двома змінними $x$ та $y$ називається впорядкована пара $(x, y)$ , яка при підстановці перетворює рівняння на тотожність. Множина розв’язків — це сукупність усіх таких впорядкованих пар.

Розглянемо рівняння $2x - y = 4$ . Пара $(3, 2)$ є розв’язком, бо $2(3) - 2 = 4$ . Але й $(0, -4)$ , $(2, 0)$ , $(5, 6)$ — теж розв’язки, і таких пар нескінченно багато. Кожен розв’язок — це точка на координатній площині, а разом вони утворюють графік рівняння.

Побудова графіка лінійного рівняння

Кожне рівняння виду $ax + by = c$ (де $a$ і $b$ не дорівнюють нулю одночасно) зображується прямою лінією. Щоб побудувати пряму, достатньо знайти дві точки. Найзручніший спосіб — знайти точки перетину з осями:

Перетин з віссю $x$ : покладемо $y = 0$ і знайдемо $x$
Перетин з віссю $y$ : покладемо $x = 0$ і знайдемо $y$

✎Приклад — Побудова за точками перетину

Побудувати графік $2x - y = 4$ .

Розв’язання. Знайдемо точки перетину з осями:

При $x = 0$ : $2(0) - y = 4 \Rightarrow y = -4$ . Точка: $(0, -4)$ .
При $y = 0$ : $2x - 0 = 4 \Rightarrow x = 2$ . Точка: $(2, 0)$ .

Позначимо точки $(0, -4)$ та $(2, 0)$ і проведемо через них пряму. Кожна точка на цій прямій є розв’язком рівняння.

Форми запису лінійного рівняння

Два поширені способи запису лінійного рівняння:

Загальна форма: $ax + by = c$ , де $a, b, c$ — сталі.
Форма з кутовим коефіцієнтом: $y = mx + b$ , де $m$ — кутовий коефіцієнт (нахил), а $b$ — точка перетину з віссю $y$ .

Кутовий коефіцієнт визначає крутизну і напрямок: додатний — пряма зростає зліва направо, від’ємний — спадає.

⚡Теорема — Формула кутового коефіцієнта

Нехай дано дві точки $(x_1, y_1)$ та $(x_2, y_2)$ на прямій, де $x_1 \neq x_2$ . Тоді кутовий коефіцієнт дорівнює:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Складання рівняння за двома точками

✎Приклад — Рівняння прямої за двома точками

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки $(1, 3)$ та $(3, 7)$ .

Розв’язання. Спочатку знайдемо кутовий коефіцієнт:

$m = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2$

Використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точку $(1, 3)$ :

$y - 3 = 2(x - 1) \implies y = 2x + 1$

Особливі випадки

Не кожну пряму можна записати у формі $y = mx + b$ :

Горизонтальна пряма $y = k$ : кутовий коефіцієнт дорівнює $0$ . Усі точки мають однакову $y$ -координату.
Вертикальна пряма $x = k$ : кутовий коефіцієнт не визначений. Усі точки мають однакову $x$ -координату. Таку пряму не можна записати у вигляді $y = mx + b$ .

✏Вправа — Практика

Побудуйте графік $3x + 2y = 6$ , знайшовши точки перетину з осями. Потім перепишіть рівняння у формі з кутовим коефіцієнтом і визначте кутовий коефіцієнт.