Метод підстановки та метод додавання

Графічний метод дає інтуїтивне розуміння, але для точних відповідей потрібна алгебра. Два основні способи розв’язування лінійних систем — це метод підстановки та метод додавання (усунення змінної).

Метод підстановки

⚡Теорема — Метод підстановки — кроки

Виразити одну змінну з одного рівняння (обрати те, де коефіцієнт найпростіший).
Підставити отриманий вираз у друге рівняння.
Розв’язати рівняння з однією змінною, що утворилося.
Знайти другу змінну зворотною підстановкою.
Записати розв’язок у вигляді впорядкованої пари та перевірити його в обох початкових рівняннях.

✎Приклад — Метод підстановки

Розв’яжіть систему:

$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$

Розв’язання. У рівнянні 2 коефіцієнт при $x$ дорівнює 1, тому виразимо $x$ :

$x = 1 + 3y$

Підставимо у рівняння 1:

$2(1 + 3y) + y = 5$ $2 + 6y + y = 5$ $7y = 3$ $y = \dfrac{3}{7}$

Зворотна підстановка:

$x = 1 + 3 \cdot \dfrac{3}{7} = 1 + \dfrac{9}{7} = \dfrac{16}{7}$

Розв’язок: $\left(\dfrac{16}{7},\; \dfrac{3}{7}\right)$ .

Перевірка: $2 \cdot \dfrac{16}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{32 + 3}{7} = 5$ ✓ та $\dfrac{16}{7} - 3 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{16 - 9}{7} = 1$ ✓.

Метод додавання (усунення змінної)

Ідея полягає в тому, щоб додати рівняння так, щоб одна змінна скоротилася.

⚡Теорема — Метод додавання — кроки

Помножити одне або обидва рівняння на відповідні числа, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними.
Додати рівняння — одна змінна зникає.
Розв’язати рівняння з однією змінною, що залишилося.
Підставити знайдене значення назад, щоб знайти другу змінну.
Записати розв’язок і перевірити.

Приклад: пряме додавання

✎Приклад — Додавання — без попереднього множення

Розв’яжіть систему:

$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$

Розв’язання. Коефіцієнти при $y$ вже протилежні ( $+2y$ та $-2y$ ), тому додаємо рівняння безпосередньо:

$(3x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $4x = 8 \implies x = 2$

Підставимо $x = 2$ у перше рівняння:

$3(2) + 2y = 7 \implies 6 + 2y = 7 \implies y = \dfrac{1}{2}$

Розв’язок: $\left(2,\; \dfrac{1}{2}\right)$ .

Приклад: з попереднім множенням

✎Приклад — Додавання — з множенням

Розв’яжіть систему:

$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$

Розв’язання. Помножимо рівняння 1 на 2, а рівняння 2 на 3, щоб коефіцієнти при $y$ стали протилежними:

$4x + 6y = 16$ $9x - 6y = 3$

Додаємо:

$13x = 19 \implies x = \dfrac{19}{13}$

Підставимо у рівняння 1:

$2 \cdot \dfrac{19}{13} + 3y = 8$ $3y = 8 - \dfrac{38}{13} = \dfrac{104 - 38}{13} = \dfrac{66}{13}$ $y = \dfrac{22}{13}$

Розв’язок: $\left(\dfrac{19}{13},\; \dfrac{22}{13}\right)$ .

Який метод обрати?

Ситуація	Рекомендований метод
Одна змінна має коефіцієнт $1$ або $-1$	Підстановка (легко виразити)
Коефіцієнти — зручні протилежні числа	Додавання (пряме)
Обидва коефіцієнти великі або складні	Додавання (з множенням)

На практиці обидва методи завжди працюють — обирайте той, який виглядає простішим для даної системи.

✏Вправа — Практика

Розв’яжіть систему обраним методом:

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

Перевірте відповідь в обох рівняннях.