Системи рівнянь

Ми навчилися розв’язувати лінійні системи графічно та алгебраїчно. Тепер розробимо систематичний спосіб класифікації систем і застосуємо наші знання до нелінійних систем та текстових задач.

Класифікація за визначником

Для загальної системи двох лінійних рівнянь:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

ключовою величиною є визначник матриці коефіцієнтів.

⚡Теорема — Критерій визначника

Нехай $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ . Тоді:

Якщо $D \neq 0$ : система має єдиний розв’язок. Прямі перетинаються рівно в одній точці.
Якщо $D = 0$ і $a_1 c_2 - a_2 c_1 \neq 0$ : система не має розв’язків. Прямі паралельні.
Якщо $D = 0$ і $a_1 c_2 - a_2 c_1 = 0$ : система має нескінченно багато розв’язків. Прямі збігаються.

Коли $D \neq 0$ , єдиний розв’язок знаходиться за формулами Крамера:

$x = \dfrac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \qquad y = \dfrac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Визначник дає швидкий спосіб дізнатися, чого очікувати, ще до початку розв’язування.

Нелінійні системи

Не всі системи складаються лише з прямих. Коли пряма перетинає криву, ми все одно можемо використати підстановку.

✎Приклад — Пряма і парабола

Розв’яжіть систему:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Розв’язання. Прирівняємо праві частини:

$x^2 = x + 2$ $x^2 - x - 2 = 0$ $(x - 2)(x + 1) = 0$

Отже, $x = 2$ або $x = -1$ .

При $x = 2$ : $y = 2^2 = 4$ . При $x = -1$ : $y = (-1)^2 = 1$ .

Розв’язки: $(2, 4)$ та $(-1, 1)$ .

Пряма і парабола можуть перетинатися у 0, 1 або 2 точках. Тут маємо дві точки перетину.

Текстові задачі

Багато життєвих ситуацій природно перекладаються на мову систем рівнянь. Ключове вміння — переклад умови задачі в алгебраїчні рівняння.

Задача на вік

✎Приклад — Задача на вік

Марія втричі старша за свого брата. Через 5 років вона буде вдвічі старшою за нього. Скільки їм років зараз?

Розв’язання. Нехай $m$ — вік Марії, $b$ — вік її брата.

Складаємо рівняння:

«Марія втричі старша»: $m = 3b$
«Через 5 років — вдвічі старша»: $m + 5 = 2(b + 5)$

Розв’язуємо методом підстановки. Замінимо $m$ на $3b$ у другому рівнянні:

$3b + 5 = 2(b + 5)$ $3b + 5 = 2b + 10$ $b = 5$

Тоді $m = 3(5) = 15$ .

Відповідь: Марії 15 років, а її братові 5 років.

Перевірка: $15 = 3 \times 5$ ✓. Через 5 років: $20 = 2 \times 10$ ✓.

Задача на суміші

✎Приклад — Задача на суміші

Скільки 20%-го та 50%-го розчинів солі потрібно змішати, щоб отримати 300 г 30%-го розчину?

Розв’язання. Нехай $x$ — маса 20%-го розчину (г), $y$ — маса 50%-го розчину (г).

Загальна маса: $x + y = 300$

Загальна маса солі: $0{,}2x + 0{,}5y = 0{,}3 \times 300 = 90$

З рівняння 1: $x = 300 - y$ . Підставимо:

$0{,}2(300 - y) + 0{,}5y = 90$ $60 - 0{,}2y + 0{,}5y = 90$ $0{,}3y = 30$ $y = 100$

Тоді $x = 300 - 100 = 200$ .

Відповідь: Потрібно змішати 200 г 20%-го розчину зі 100 г 50%-го розчину.

Перевірка: $0{,}2(200) + 0{,}5(100) = 40 + 50 = 90 = 0{,}3(300)$ ✓.

✏Вправа — Практика

У кінотеатрі продали 150 квитків. Квиток для дорослого коштує $12, а дитячий — $7. Загальний дохід склав $1400. Скільки дорослих і скільки дитячих квитків було продано? Складіть систему і розв’яжіть.