Графічний метод

У попередньому уроці ми побачили, що одне лінійне рівняння з двома змінними має нескінченно багато розв’язків. Що станеться, якщо ми вимагатимемо, щоб два рівняння виконувалися одночасно?

Система рівнянь

📐Визначення — Система лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь — це набір двох або більше лінійних рівнянь з тими самими змінними. Розв’язком системи називається впорядкована пара $(x, y)$ , яка задовольняє кожне рівняння системи одночасно.

Для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими графічний підхід є інтуїтивно зрозумілим: будуємо графіки обох рівнянь і шукаємо точку перетину.

Графічний метод розв’язування

Кожне рівняння задає пряму. Розв’язком системи є будь-яка точка, яка лежить на обох прямих одночасно — тобто їхня точка перетину.

⚡Теорема — Три випадки для двох прямих

Система двох лінійних рівнянь з двома змінними має рівно один із трьох результатів:

Один розв’язок (сумісна, визначена): прямі перетинаються рівно в одній точці.
Жодного розв’язку (несумісна): прямі паралельні (однаковий кутовий коефіцієнт, різні вільні члени) і ніколи не перетинаються.
Нескінченно багато розв’язків (сумісна, невизначена): прямі збігаються, тому кожна точка однієї прямої також лежить на іншій.

Інтерактивний дослідник

Скористайтеся інструментом нижче, щоб побачити, як змінюється розв’язок при зміні коефіцієнтів рівнянь. Спробуйте зробити прямі паралельними, а потім ідентичними, щоб спостерігати всі три випадки.

Line 1: 1x + 1y = 3

a₁=b₁=c₁=

Line 2: 2x - 1y = 1

a₂=b₂=c₂=

Solution: x = 1.333, y = 1.667

Розв’язаний приклад

✎Приклад — Графічне розв'язування системи

Розв’яжіть графічно:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Розв’язання. Побудуємо графік кожної прямої, знайшовши по дві точки.

Пряма 1 ( $x + y = 4$ ):

При $x = 0$ : $y = 4$ — точка $(0, 4)$
При $y = 0$ : $x = 4$ — точка $(4, 0)$

Пряма 2 ( $x - y = 2$ ):

При $x = 0$ : $y = -2$ — точка $(0, -2)$
При $y = 0$ : $x = 2$ — точка $(2, 0)$

Дві прямі перетинаються в точці $(3, 1)$ .

Перевірка: $3 + 1 = 4$ ✓ та $3 - 1 = 2$ ✓.

Точність та обмеження

ℹПримітка — Обмеження графічного методу

Графічний метод чудово підходить для візуалізації та розуміння геометричного змісту системи. Однак зчитування координат з графіка є принципово наближеним. Якщо розв’язок містить дроби, як-от $\left(\dfrac{16}{7}, \dfrac{3}{7}\right)$ , графік сам по собі не дасть точних значень. Для точних розв’язків використовуйте алгебраїчні методи, описані в наступному уроці.

Графічний метод — потужний перший крок: він показує, скільки розв’язків очікувати, та дає наближену відповідь. Алгебраїчні методи потім забезпечують точність.