Частота та ймовірність випадкової події

Нам нерідко доводиться проводити спостереження, досліди, брати участь в експериментах або випробуваннях. Часто подібні дослідження завершуються деяким результатом, який заздалегідь передбачити неможливо.

Наприклад, якщо відкрити книгу навмання, то неможливо знати заздалегідь, який номер сторінки ви побачите. Неможливо до початку футбольного матчу визначити, з яким рахунком закінчиться гра.

Як правило, спостереження або експеримент визначається якимось комплексом умов. Результат спостереження, досліду, експерименту називають подією.

📐Означення — Випадкова подія

Випадковою подією називають такий результат спостереження або експерименту, який при дотриманні даного комплексу умов може відбутися, а може й не відбутися.

Частота випадкової події

📐Означення — Частота випадкової події

Частотою випадкової події називають величину, яку ми обчислювали за формулою:

\text{Частота} = \frac{\text{Кількість появ події, яка цікавить}}{\text{Кількість випробувань (спостережень)}}

✎Приклад 1 — Частота народження хлопчиків

Умова. Демографам добре відоме число 0,512. Статистичні дані, отримані в різні часи та в різних країнах, свідчать про те, що на 1000 новонароджених припадає в середньому 512 хлопчиків.

Розв’язання. Число 0,512 називають частотою випадкової події «народження хлопчика». У таких випадках говорять, що ймовірність події «народження хлопчика» приблизно дорівнює 0,512.

Статистична стійкість частоти

Щоб детальніше ознайомитися з поняттям ймовірності випадкової події, звернемося до класичного прикладу з киданням монети.

Починаючи з XVIII ст. багато дослідників проводили серії випробувань із підкиданням монети. У таблиці наведено результати деяких таких випробувань.

Дослідник	Кількість підкидань	Кількість випадінь герба	Частота
Жорж-Луї Леклерк де Бюффон (1707—1788)	4040	2048	0,5069
Аугустус де Морган (1806—1871)	4092	2048	0,5005
Вільям Джевонс (1835—1882)	20 480	10 379	0,5068
Всеволод Романовський (1879—1954)	80 640	39 699	0,4923
Карл Пірсон (1857—1936)	24 000	12 012	0,5005
Вільям Феллер (1906—1970)	10 000	4979	0,4979

За наведеними даними простежується закономірність: при багаторазовому підкиданні монети частота появи герба незначно відхиляється від числа 0,5.

ℹПримітка — Статистична оцінка ймовірності

Чим більше випробувань провести, тим точнішою буде оцінка ймовірності випадкової події за її частотою.

Таку оцінку ймовірності випадкової події називають статистичною. Її використовують у різних галузях діяльності людини: фізиці, хімії, біології, страховому бізнесі, соціології, економіці, охороні здоров’я, спорті тощо.

Ймовірність події

Ймовірність події позначають буквою $P$ (першою буквою французького слова probabilite — ймовірність). Якщо в першому прикладі подію «народження хлопчика» позначити буквою $A$ , то отриманий результат записують так:

P(A) \approx 0{,}512.

Ураховуючи наближений характер статистичної оцінки, можна записати, що $P(A) \approx 0{,}51$ або $P(A) \approx 0{,}5$ .

✏Вправа — Задачі на частоту та ймовірність

З великої партії лампочок вибрали 1000, серед яких виявилося 5 бракованих. Оцініть ймовірність купити браковану лампочку.
Під час епідемії грипу серед обстежених 40 000 жителів виявили 7900 хворих. Оцініть ймовірність події «навмання вибрана людина хвора на грип».
Оператор довідкової служби протягом робочого дня (9:00—17:00) у середньому розмовляє по телефону 6 год. Оцініть ймовірність того, що коли зателефонувати до довідкової у цей період, телефон виявиться вільним.