Обчислення ймовірностей за допомогою правил комбінаторики

Умова. У двох урнах лежать кулі, які відрізняються тільки кольором. У першій урні лежать дві білі та три чорні кулі, а в другій — три білі та дві чорні кулі. Із кожної урни навмання дістають по одній кулі. Яка ймовірність того, що хоча б одна з двох куль виявиться білою?

Розв’язання. У кожній урні лежить по 5 куль, то з них можна утворити $5 \cdot 5 = 25$ таких пар. Оскільки кулі пронумеровано, ми можемо вважати, що всі 25 пар куль різні. Кулі з урн беруть навмання. Тому в цьому експерименті є 25 рівноможливих результатів.

Оскільки в першій урні лежать 3 чорні кулі, а в другій — 2 чорні, то існує $3 \cdot 2 = 6$ пар куль чорного кольору. Тому кількість результатів, сприятливих для події «хоча б одна з куль виявиться білою», дорівнює $25 - 6 = 19$.

Відповідь: $\dfrac{19}{25}$.

Умова. Кидають чотири гральних кубики. Знайдіть ймовірність того, що: 1) випаде рівно одна шістка (подія $A$); 2) випадуть чотири різні цифри (подія $B$); 3) не випаде жодної шістки (подія $C$); 4) випаде хоча б одна шістка (подія $D$).

Розв’язання. Пронумеруємо кубики числами від 1 до 4. Будь-який результат експерименту записуватимемо у вигляді $(a; b; c; d)$, де $a, b, c, d$ — кількість очок, які випали відповідно на першому, другому, третьому та четвертому кубиках.

Разом може утворитися $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4$ таких четвірок. Жодний з результатів не має переваги. Тому в даному досліді є $6^4$ рівноможливих результатів.

1. Єдина шістка може стояти на будь-якому із чотирьох місць. Нехай, наприклад, вона стоїть на першому місці. На інших трьох місцях стоять будь-які цифри від 1 до 5. Тоді кількість четвірок виду $(6; b; c; d)$ дорівнює $5^3$. Загальна кількість сприятливих результатів дорівнює $4 \cdot 5^3$. Отже, $P(A) = \dfrac{4 \cdot 5^3}{6^4}$.

2. У цьому випадку будь-які чотири різні цифри, що випали, — це 4-елементна упорядкована підмножина множини $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Отже, кількість результатів, сприятливих для настання події $B$, дорівнює $A_6^4$. Звідси $P(B) = \dfrac{A_6^4}{6^4} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^4}$.

3. На кожному із чотирьох місць може стояти будь-яка із цифр від 1 до 5. Звідси кількість результатів, сприятливих для настання події $C$, дорівнює $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$. Отримуємо: $P(C) = \dfrac{5^4}{6^4}$.

4. Кількість усіх результатів, у яких немає жодної шістки, дорівнює $5^4$. Тоді $6^4 - 5^4$ — це кількість результатів, які містять хоча б одну шістку. Звідси

Умова. Контролер у партії з 20 деталей навмання вибирає 5 деталей для перевірки. Якщо серед вибраних деталей немає жодної бракованої, то він приймає всю партію. Яка ймовірність того, що контролер прийме партію, яка містить 7 бракованих?

Розв’язання. Оскільки контролер вибирає 5 деталей навмання з 20, даний експеримент має $C_{20}^5$ рівноможливих результатів.

Нехай у партії з 20 деталей є 7 бракованих. Тоді якісних виробів у ній 13. Контролер пропускає партію, якщо 5 деталей будуть вибрані з 13 якісних. Отже, кількість результатів, сприятливих для настання події $A$, дорівнює $C_{13}^5$.

Звідси $P(A) = \dfrac{C_{13}^5}{C_{20}^5} \approx 8\%$.

Відповідь: $\dfrac{C_{13}^5}{C_{20}^5} \approx 0{,}08$.

Умова. У змаганнях з баскетболу беруть участь 18 команд, з яких 5 команд вважаються фаворитами. Шляхом жеребкування команди ділять на дві групи $A$ і $B$, по 9 команд у кожній. Яка ймовірність потрапляння до однієї групи: 1) п’яти команд-фаворитів (подія $M$); 2) рівно двох команд-фаворитів (подія $K$)?

Розв’язання. Кожну з груп можна утворити $C_{18}^9$ способами.

1. Нехай 5 команд-фаворитів потрапили в групу $A$. Тоді для доформування цієї групи до 9 команд потрібно вибрати ще 4 команди з решти 13 команд. Це можна зробити $C_{13}^4$ способами. Оскільки п’ять команд-фаворитів можуть потрапити як у групу $A$, так і в групу $B$, то кількість результатів, сприятливих для події $M$, дорівнює $2C_{13}^4$. Отже, $P(M) = \dfrac{2C_{13}^4}{C_{18}^9} = \dfrac{1}{34}$.

2. Кожну з груп, яка містить дві команди-фаворити, можна сформувати $C_5^2 \cdot C_{13}^7$ способами. Звідси $P(K) = \dfrac{2 \cdot C_5^2 \cdot C_{13}^7}{C_{18}^9} = \dfrac{12}{17}$.

Відповідь: 1) $\dfrac{1}{34}$; 2) $\dfrac{12}{17}$.

1. Навмання вибирають 4 букви зі слова «ЗАКОН». Яка ймовірність того, що з вибраних чотирьох букв можна скласти слово «КОЗА»?

2. У ящику лежать 10 куль, з яких 4 білі. Яка ймовірність того, що вибрані навмання 2 кулі виявляться білими?

3. У партії зі 100 лампочок є 7 бракованих. Яка ймовірність вибрати навмання із цієї партії 4 небраковані лампочки?