ironfern @ docs ~/geometry/grade-9/triangles/trig-functions $
Тригонометричні функції кута від 0° до 180°
У 8 класі ви вивчили синус, косинус, тангенс і котангенс гострого кута. Тепер розширимо ці означення на будь-який кут α \alpha α 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180°
Одиничне півколо
Розглянемо верхню півплощину координатної площини та одиничне коло (радіус 1, центр у початку координат). Для кожного кута α \alpha α 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180° M M M ∠ M O A = α \angle MOA = \alpha ∠ M O A = α O = ( 0 , 0 ) O = (0,0) O = ( 0 , 0 ) A = ( 1 , 0 ) A = (1,0) A = ( 1 , 0 )
📐 Означення — Синус і косинус (від 0° до 180°)
Косинусом і синусом кута α \alpha α 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180° M M M α \alpha α
cos α = x M , sin α = y M \cos \alpha = x_M, \qquad \sin \alpha = y_M cos α = x M , sin α = y M
Спеціальні значення: sin 0 ° = 0 \sin 0° = 0 sin 0° = 0 cos 0 ° = 1 \cos 0° = 1 cos 0° = 1 sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 cos 90 ° = 0 \cos 90° = 0 cos 90° = 0 sin 180 ° = 0 \sin 180° = 0 sin 180° = 0 cos 180 ° = − 1 \cos 180° = -1 cos 180° = − 1
Оскільки точка M M M 0 ≤ y ≤ 1 0 \leq y \leq 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ sin α ≤ 1 0 \leq \sin\alpha \leq 1 0 ≤ sin α ≤ 1 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180° − 1 ≤ x ≤ 1 -1 \leq x \leq 1 − 1 ≤ x ≤ 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1 -1 \leq \cos\alpha \leq 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1
Важливо: Косинус тупого кута є від’ємним числом.
Переміщуйте повзунок, щоб побачити, як змінюються sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α α \alpha α 0 ° 0° 0° 180 ° 180° 180° M ′ M' M ′ M M M
α = 50.0°
α = 50° sin α = 0.7660 cos α = 0.6428 tg α = 1.1918 ctg α = 0.8391 180°−α = 130° sin(180°−α) = 0.7660
Формули для суміжних кутів
Для кутів α \alpha α 180 ° − α 180° - \alpha 180° − α O y Oy O y
sin ( 180 ° − α ) = sin α , cos ( 180 ° − α ) = − cos α \boxed{\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha, \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha} sin ( 180° − α ) = sin α , cos ( 180° − α ) = − cos α
✎ Приклад — Знаходження тригонометричних значень
Знайдіть sin 120 ° \sin 120° sin 120° cos 120 ° \cos 120° cos 120°
Розв’язання. Оскільки 120 ° = 180 ° − 60 ° 120° = 180° - 60° 120° = 180° − 60°
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 ° = 3 2 \sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 120° = sin ( 180° − 60° ) = sin 60° = 2 3
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 ° = − 1 2 ◀ \cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2} \qquad \blacktriangleleft cos 120° = cos ( 180° − 60° ) = − cos 60° = − 2 1 ◀
Основна тригонометрична тотожність
Оскільки M = ( cos α , sin α ) M = (\cos\alpha,\, \sin\alpha) M = ( cos α , sin α ) x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1
sin 2 α + cos 2 α = 1 \boxed{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1} sin 2 α + cos 2 α = 1
Ця тотожність справедлива для всіх 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180°
Тангенс і котангенс
📐 Означення — Тангенс і котангенс
Тангенсом кута α \alpha α 0 ° ≤ α ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq 180° 0° ≤ α ≤ 180° α ≠ 90 ° \alpha \neq 90° α = 90°
tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = c o s α s i n α
Котангенсом кута α \alpha α 0 ° < α < 180 ° 0° < \alpha < 180° 0° < α < 180°
ctg α = cos α sin α \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} ctg α = s i n α c o s α
Тангенс tg 90 ° \operatorname{tg} 90° tg 90° cos 90 ° = 0 \cos 90° = 0 cos 90° = 0 ctg 0 ° \operatorname{ctg} 0° ctg 0° ctg 180 ° \operatorname{ctg} 180° ctg 180°
Формули суміжних кутів поширюються на тангенс і котангенс:
tg ( 180 ° − α ) = − tg α , ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(180° - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha tg ( 180° − α ) = − tg α , ctg ( 180° − α ) = − ctg α
✎ Приклад — Доведення формули для тангенса суміжного кута
Доведіть, що tg ( 180 ° − α ) = − tg α \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha tg ( 180° − α ) = − tg α
Доведення.
tg ( 180 ° − α ) = sin ( 180 ° − α ) cos ( 180 ° − α ) = sin α − cos α = − tg α ◀ \operatorname{tg}(180° - \alpha) = \frac{\sin(180° - \alpha)}{\cos(180° - \alpha)} = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\operatorname{tg}\alpha \qquad \blacktriangleleft tg ( 180° − α ) = c o s ( 180° − α ) s i n ( 180° − α ) = − c o s α s i n α = − tg α ◀
Порівняння значень тригонометричних функцій
При 0 ° ≤ α < β ≤ 90 ° 0° \leq \alpha < \beta \leq 90° 0° ≤ α < β ≤ 90° sin α < sin β \sin\alpha < \sin\beta sin α < sin β cos α > cos β \cos\alpha > \cos\beta cos α > cos β
При 90 ° ≤ α < β ≤ 180 ° 90° \leq \alpha < \beta \leq 180° 90° ≤ α < β ≤ 180° sin α > sin β \sin\alpha > \sin\beta sin α > sin β cos α < cos β \cos\alpha < \cos\beta cos α < cos β
Для будь-яких 0 ° ≤ α ≤ β ≤ 180 ° 0° \leq \alpha \leq \beta \leq 180° 0° ≤ α ≤ β ≤ 180° cos α ≥ cos β \cos\alpha \geq \cos\beta cos α ≥ cos β [ 0 ° , 180 ° ] [0°, 180°] [ 0° , 180° ]