Теорема косинусів

З першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони та кут між ними однозначно визначають трикутник. Теорема косинусів дає змогу знайти третю сторону.

⚡Теорема — Теорема косинусів (Теорема 3.1)

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними:

$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$

де $a$ — сторона, протилежна куту $\alpha$ , а $b$ , $c$ — дві інші сторони.

Зауваження: При $\alpha = 90°$ маємо $\cos\alpha = 0$ , і формула набуває вигляду теореми Піфагора $a^2 = b^2 + c^2$ . Отже, теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів.

Змінюйте сторони та кут, щоб побачити, як реагує формула $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ . Зверніть увагу, як член корекції змінює знак, коли $\alpha$ перетинає $90°$ :

b = 3.0

c = 4.0

α = 60.0°

a² = b²+c²-12.00 = 13.000a = 3.606α = 60°β = 46.1°γ = 73.9°▲ acute

Визначення виду трикутника

⚡Теорема — Наслідок (Теорема 3.2)

Нехай $a$ , $b$ , $c$ — сторони трикутника, причому $a$ — довжина найбільшої сторони. Тоді:

Якщо $a^2 < b^2 + c^2$ , трикутник гострокутний.
Якщо $a^2 > b^2 + c^2$ , трикутник тупокутний.
Якщо $a^2 = b^2 + c^2$ , трикутник прямокутний.

✎Приклад — Знаходження сторони

У трикутнику $ABC$ : $AB = 14$ см, $BC = 13$ см, $AC = 15$ см. Точка $D$ на $AC$ задовольняє $CD : AD = 1 : 2$ . Знайдіть $BD$ .

Розв’язання. Знайдемо $\cos C$ з теореми косинусів для трикутника $ABC$ :

$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{225 + 169 - 196}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{33}{65}$

Оскільки $CD : AD = 1:2$ , маємо $CD = \tfrac{1}{3}AC = 5$ см. З трикутника $BCD$ :

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C = 169 + 25 - 2 \cdot 13 \cdot 5 \cdot \frac{33}{65} = 128$

$BD = 8\sqrt{2} \text{ см} \qquad \blacktriangleleft$

Діагоналі паралелограма

⚡Теорема — Теорема 3.3

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Формули медіан

Як наслідок теореми косинусів, довжини медіан трикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ виражаються формулами:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}, \quad m_b^2 = \frac{2c^2 + 2a^2 - b^2}{4}, \quad m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

✎Приклад — Визначення виду трикутника

Сторони трикутника дорівнюють $\sqrt{18}$ см, $5$ см і $7$ см. Визначте вид трикутника.

Розв’язання. Найбільша сторона — $7$ см. Перевіримо: $7^2 = 49$ проти $(\sqrt{18})^2 + 5^2 = 18 + 25 = 43$ .

Оскільки $49 > 43$ , трикутник тупокутний. $\blacktriangleleft$