Теорема синусів

З другої ознаки рівності трикутників випливає, що сторона та два прилеглих до неї кути однозначно визначають трикутник. Теорема синусів пов’язує всі сторони й кути трикутника.

Лема про хорду кола

⚡Лема — Лема про хорду кола

Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Якщо хорда $MN$ спирається на вписаний кут величиною $\alpha$ , а радіус кола дорівнює $R$ , то:

$MN = 2R\sin\alpha$

Теорема синусів

⚡Теорема — Теорема синусів (Теорема 4.1)

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

де $R$ — радіус описаного кола трикутника.

Переміщуйте вершини і спостерігайте, що $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C = 2R$ завжди виконується — всі три відношення залишаються рівними незалежно від форми трикутника:

∠A = 50.0°

∠B = 70.0°

∠A = 50°∠B = 70°∠C = 60°a/sin A = 5.000b/sin B = 5.0002R = 5.000

Наслідок. Радіус описаного кола можна знайти за будь-якою стороною та протилежним їй кутом:

$\boxed{R = \frac{a}{2\sin A}}$

✎Приклад — Застосування теореми синусів

У трикутнику $ABC$ : $AC = \sqrt{2}$ см, $BC = 1$ см, $\angle A = 30°$ . Знайдіть кут $B$ .

Розв’язання. За теоремою синусів: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies \sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 30°}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отже $\angle B = 45°$ або $\angle B = 135°$ .

Оскільки $BC < AC$ , маємо $\angle A < \angle B$ , тому обидва значення можливі: $\angle B = 45°$ або $\angle B = 135°$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Радіус описаного кола трапеції

В рівнобічній трапеції основи дорівнюють $21$ см і $9$ см, а висота — $8$ см. Знайдіть радіус описаного кола.

Розв’язання. Бічна сторона $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см і $\sin A = 8/10 = 4/5$ .

За теоремою синусів для трикутника $ABD$ : $R = \frac{BD}{2\sin A} = \frac{17}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{85}{8} \text{ см} \qquad \blacktriangleleft$

Формула Ейлера

⚡Теорема — Формула Ейлера

Відстань $d$ між центрами вписаного й описаного кіл трикутника обчислюється за формулою:

$d = \sqrt{R^2 - 2Rr}$

де $R$ і $r$ — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл. Зокрема, $R \geq 2r$ для будь-якого трикутника, причому рівність досягається лише для рівностороннього трикутника.