ironfern @ docs ~/geometry/grade-9/triangles/solving-triangles $

Розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути за відомими. Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який трикутник.

Використовуємо стандартні позначення: сторони aa, bb, cc протилежні кутам α\alpha, β\beta, γ\gamma відповідно.

Інтерактивний розв’язувач

Оберіть випадок, задайте відомі значення і спостерігайте за розв’язанням трикутника в реальному часі. Для SSA подивіться, як можуть з’явитися два допустимі трикутники:

b = 3.0
c = 4.0
α (included) = 60.0°
a = 3.61β = 46.1°γ = 73.9°

Випадок 1: Сторона та два кути

За відомими aa, β\beta, γ\gamma: знаходимо α=180°−(β+γ)\alpha = 180° - (\beta + \gamma), потім застосовуємо теорему синусів.

✎Приклад — Сторона та два кути

Розв’яжіть трикутник за a=12a = 12 см, β=36°\beta = 36°, γ=119°\gamma = 119°.

Розв’язання. α=180°−(36°+119°)=25°\alpha = 180° - (36° + 119°) = 25°.

За теоремою синусів: b=asin⁡βsin⁡α=12sin⁡36°sin⁡25°≈12⋅0,590,42≈16,9 смb = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{12\sin 36°}{\sin 25°} \approx \frac{12 \cdot 0{,}59}{0{,}42} \approx 16{,}9 \text{ см} c=asin⁡γsin⁡α=12sin⁡119°sin⁡25°=12sin⁡61°sin⁡25°≈12⋅0,870,42≈24,9 смc = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{12\sin 119°}{\sin 25°} = \frac{12\sin 61°}{\sin 25°} \approx \frac{12 \cdot 0{,}87}{0{,}42} \approx 24{,}9 \text{ см}

Відповідь: b≈16,9b \approx 16{,}9 см, c≈24,9c \approx 24{,}9 см, α=25°\alpha = 25°. ◀\blacktriangleleft

Випадок 2: Дві сторони та кут між ними

За відомими bb, cc, α\alpha: знаходимо aa за теоремою косинусів, потім решту кутів.

✎Приклад — Дві сторони та кут між ними

Розв’яжіть: a=14a = 14 см, b=8b = 8 см, γ=38°\gamma = 38°.

Розв’язання. За теоремою косинусів: c2=a2+b2−2abcos⁡γ=196+64−2⋅14⋅8cos⁡38°≈260−224⋅0,79≈83c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = 196 + 64 - 2\cdot14\cdot8\cos38° \approx 260 - 224\cdot0{,}79 \approx 83 c≈9,1 смc \approx 9{,}1 \text{ см}

Далі cos⁡α=b2+c2−a22bc≈−0,34\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \approx -0{,}34, тому α≈110°\alpha \approx 110°, β≈32°\beta \approx 32°. ◀\blacktriangleleft

Випадок 3: Три сторони

За відомими aa, bb, cc: знаходимо кути за теоремою косинусів.

✎Приклад — Три сторони

Розв’яжіть: a=7a = 7 см, b=2b = 2 см, c=8c = 8 см.

Розв’язання. cos⁡α=b2+c2−a22bc=4+64−4932≈0,59  ⟹  α≈54°\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{4+64-49}{32} \approx 0{,}59 \implies \alpha \approx 54°

За теоремою синусів: sin⁡β≈0,23  ⟹  β≈13°\sin\beta \approx 0{,}23 \implies \beta \approx 13°.

Тоді γ=180°−(54°+13°)=113°\gamma = 180° - (54° + 13°) = 113°. ◀\blacktriangleleft

Випадок 4: Дві сторони та кут, що лежить проти однієї з них

За відомими aa, bb, α\alpha (кут при вершині проти aa): може бути 0, 1 або 2 розв’язки.

✎Приклад — Неоднозначний випадок

Розв’яжіть: a=6a = 6 см, b=5b = 5 см, β=50°\beta = 50°.

Розв’язання. За теоремою синусів: sin⁡α=asin⁡βb=6⋅0,775≈0,92\sin\alpha = \frac{a\sin\beta}{b} = \frac{6\cdot0{,}77}{5} \approx 0{,}92.

Можливі значення: α≈67°\alpha \approx 67° або α≈113°\alpha \approx 113°. Обидва допустимі.

Варіант А: α≈67°\alpha \approx 67°, γ≈63°\gamma \approx 63°, c≈5,8c \approx 5{,}8 см. Варіант Б: α≈113°\alpha \approx 113°, γ≈17°\gamma \approx 17°, c≈1,9c \approx 1{,}9 см. ◀\blacktriangleleft

Зведена таблиця

ВипадокДаноМетодКількість розв’язків
1: Сторона та два кутиaa, β\beta, γ\gammaα=180°−(β+γ)\alpha = 180° - (\beta+\gamma), потім теорема синусівРівно 1
2: Дві сторони та кут між нимиbb, cc, α\alphaТеорема косинусів для aa, потім теорема синусівРівно 1
3: Три сторониaa, bb, ccТеорема косинусів для кожного кутаРівно 1
4: Дві сторони та кут, що лежить проти однієї з нихaa, bb, α\alphaТеорема синусів для sin⁡β\sin\beta, перевірка допустимості0, 1 або 2