Формули для знаходження площі трикутника

У 8 класі ви навчились обчислювати площу трикутника за формулою $S = \tfrac{1}{2}ah_a$ . Використовуючи тригонометрію та радіус описаного кола, виведемо кілька нових потужних формул.

Дві сторони та кут між ними

⚡Теорема — Теорема 6.1

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними:

$\boxed{S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma}$

Доведення. Проведемо висоту $BD$ з вершини $B$ на $AC$ . Тоді $S = \tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \tfrac{1}{2} b \cdot BD$ . З трикутника $BDC$ : $BD = a\sin\gamma$ . Отже $S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ . $\blacktriangleleft$

Формула Герона

⚡Теорема — Теорема 6.2 — Формула Герона

Площа трикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ та півпериметром $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ обчислюється за формулою:

$\boxed{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

✎Приклад — Застосування формули Герона

Сторони трикутника дорівнюють $17$ см, $65$ см і $80$ см. Знайдіть площу, найменшу висоту, радіуси вписаного й описаного кіл.

Розв’язання. $p = \frac{17+65+80}{2} = 81$ см.

$S = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} = 9 \cdot 8 \cdot 4 = 288 \text{ см}^2$

Найменша висота — до найбільшої сторони $c = 80$ : $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{576}{80} = 7{,}2$ см.

Радіус вписаного кола: $r = \frac{S}{p} = \frac{288}{81} = \frac{32}{9}$ см.

Радіус описаного кола: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{17 \cdot 65 \cdot 80}{4 \cdot 288} = \frac{5525}{72}$ см. $\blacktriangleleft$

Площа через радіус описаного кола

⚡Теорема — Теорема 6.3

$S = \frac{abc}{4R}$

де $R$ — радіус описаного кола. Звідси $R = \dfrac{abc}{4S}$ .

Площа через радіус вписаного кола

⚡Теорема — Теорема 6.4

$S = pr$

де $p$ — півпериметр, $r$ — радіус вписаного кола. Звідси $r = \dfrac{S}{p}$ .

Описаний многокутник

⚡Теорема — Теорема 6.5

Площа многокутника, описаного навколо кола радіуса $r$ , дорівнює:

$S = pr$

де $p$ — його півпериметр.

Паралелограм і чотирикутник

⚡Теорема — Теорема 6.6 — Площа паралелограма

Площа паралелограма зі сусідніми сторонами $a$ , $b$ і кутом $\alpha$ між ними:

$S = ab\sin\alpha$

⚡Теорема — Теорема 6.7 — Площа опуклого чотирикутника

Площа опуклого чотирикутника з діагоналями $d_1$ , $d_2$ і кутом $\varphi$ між ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi$

Зведена таблиця формул

Формула	Коли застосовувати
$S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$	Відомі дві сторони й кут між ними
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	Відомі всі три сторони
$S = \tfrac{abc}{4R}$	Відомі всі сторони й радіус описаного кола
$S = pr$	Відомі півпериметр і радіус вписаного кола