Відстань між двома точками. Поділ відрізка у заданому відношенні

Маючи дві точки на координатній площині, часто потрібно знайти відстань між ними або знайти точку, яка ділить відрізок між ними у заданому відношенні. Обидві задачі зводяться до простих формул, що випливають із теореми Піфагора.

Формула відстані

⚡Теорема — Формула відстані (Теорема 9.1)

Відстань між точками $A(x_A,\, y_A)$ і $B(x_B,\, y_B)$ дорівнює

$\boxed{|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$

Доведення. Опустимо перпендикуляри з $A$ і $B$ на координатні осі та утворимо прямокутний трикутник $ACB$ , де $C = (x_B,\, y_A)$ — кутова точка. Катети цього прямокутного трикутника мають довжини $|x_B - x_A|$ (горизонтальний) і $|y_B - y_A|$ (вертикальний). За теоремою Піфагора:

$|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Беручи додатний квадратний корінь, отримуємо формулу. $\blacktriangleleft$

Часткові випадки:

Якщо $A$ і $B$ лежать на горизонтальній прямій ( $y_A = y_B$ ), то $|AB| = |x_B - x_A|$ .
Якщо $A$ і $B$ лежать на вертикальній прямій ( $x_A = x_B$ ), то $|AB| = |y_B - y_A|$ .
Відстань від початку координат $O(0{,}0)$ до точки $P(x{,}y)$ дорівнює $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Формула середини відрізка

Безпосереднім наслідком формули поділу відрізка є формула середини: якщо $M$ — середина відрізка $AB$ , то

$\boxed{M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$

Доведення. Середина ділить відрізок у відношенні $1:1$ . Підставляючи $m = n = 1$ у формулу поділу, отримуємо цей результат. $\blacktriangleleft$

Формула поділу відрізка

⚡Теорема — Формула поділу відрізка (Теорема 9.2)

Нехай точка $C$ лежить на відрізку $AB$ (між $A$ і $B$ ) і ділить його у відношенні $AC : CB = m : n$ , де $m, n > 0$ . Тоді координати точки $C$ :

$\boxed{x_C = \dfrac{n\, x_A + m\, x_B}{m + n}, \qquad y_C = \dfrac{n\, y_A + m\, y_B}{m + n}}$

Доведення. Оскільки $C$ лежить на відрізку $AB$ і $AC : CB = m : n$ , параметр $t = \dfrac{m}{m+n}$ задає частку шляху від $A$ до $B$ . Координати точки $C$ :

$x_C = x_A + t(x_B - x_A) = x_A + \frac{m}{m+n}(x_B - x_A) = \frac{(m+n)x_A + m(x_B - x_A)}{m+n} = \frac{n\,x_A + m\,x_B}{m+n}$

Аналогічно для $y_C$ . $\blacktriangleleft$

Підказка для запам’ятовування: Координата, що відповідає кінцю $A$ , множиться на $n$ (частину відношення, що стоїть ближче до $B$ ), і навпаки — у чисельнику відбувається «перехрещення».

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Відстань між двома точками

Знайдіть відстань між точками $P(-3{,}\; 4)$ і $Q(5{,}\; -2)$ .

Розв’язання. Застосовуємо формулу відстані при $x_A = -3$ , $y_A = 4$ , $x_B = 5$ , $y_B = -2$ :

$|PQ| = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Відповідь: $|PQ| = 10$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Формула поділу відрізка

Точка $C$ ділить відрізок $AB$ , де $A(1{,}\; -1)$ і $B(7{,}\; 5)$ , у відношенні $AC : CB = 2 : 1$ . Знайдіть координати точки $C$ .

Розв’язання. Тут $m = 2$ , $n = 1$ . Застосовуємо формулу поділу:

$x_C = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 + 1} = \frac{1 + 14}{3} = \frac{15}{3} = 5$

$y_C = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m + n} = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5}{3} = \frac{-1 + 10}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Перевірка: $|AC| = \sqrt{(5-1)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ та $|CB| = \sqrt{(7-5)^2+(5-3)^2} = 2\sqrt{2}$ . Справді, $|AC|:|CB| = 2:1$ . $\checkmark$

Відповідь: $C(5{,}\; 3)$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Застосування формули середини

Середина відрізка $PQ$ — точка $M(2{,}\; -3)$ . Якщо $P = (-4{,}\; 1)$ , знайдіть $Q$ .

Розв’язання. Нехай $Q = (x{,}\; y)$ . За формулою середини:

$\frac{-4 + x}{2} = 2 \implies x = 8, \qquad \frac{1 + y}{2} = -3 \implies y = -7$

Відповідь: $Q(8{,}\; -7)$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Знайдіть відстань між кожною парою точок.

$A(0{,}\; 0)$ і $B(5{,}\; 12)$
$A(-2{,}\; 3)$ і $B(4{,}\; -5)$
$A(1{,}\; 1)$ і $B(4{,}\; 5)$

Підказка до (3): Утворіть прямокутний трикутник і перевірте відповідь, безпосередньо застосувавши теорему Піфагора.

✏Вправа

Точка $D$ ділить відрізок $EF$ , де $E(-5{,}\; 2)$ і $F(7{,}\; -4)$ , у відношенні $ED : DF = 1 : 3$ . Знайдіть координати точки $D$ .

Перевірте відповідь, обчисливши $|ED|$ і $|DF|$ та переконавшись, що їх відношення дорівнює $1:3$ .

✏Вправа

Три вершини ромба — $A(0{,}\; 0)$ , $B(4{,}\; 0)$ , $C(5{,}\; 3)$ . Знайдіть четверту вершину $D$ , якщо $ABCD$ — ромб (діагоналі паралелограма перетинаються в їхніх серединах).

Підказка: Скористайтеся формулою середини — діагоналі паралелограма мають спільну середину.