Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Найзручніші форми рівняння прямої — ті, в яких геометричний зміст параметрів очевидний: кутовий коефіцієнт показує нахил прямої, а дві задані точки однозначно визначають пряму.

Кутовий коефіцієнт і кут нахилу

📐Означення — Кутовий коефіцієнт прямої

Кутовим коефіцієнтом (або нахилом) невертикальної прямої $\ell$ називають число

$k = \operatorname{tg}\alpha$

де $\alpha$ — кут нахилу прямої — кут, відрахований проти годинникової стрілки від додатного напрямку осі $Ox$ до прямої, при $0° \leq \alpha < 180°$ , $\alpha \neq 90°$ .

Еквівалентно: для будь-яких двох різних точок $(x_1{,}\; y_1)$ і $(x_2{,}\; y_2)$ на $\ell$ при $x_1 \neq x_2$ :

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Знак кутового коефіцієнта:

$k > 0$ : пряма зростає зліва направо ( $0° < \alpha < 90°$ )
$k < 0$ : пряма спадає зліва направо ( $90° < \alpha < 180°$ )
$k = 0$ : пряма горизонтальна ( $\alpha = 0°$ )
Вертикальні прямі не мають кутового коефіцієнта ( $\alpha = 90°$ )

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

⚡Теорема — Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (Теорема 12.1)

Кожна невертикальна пряма з кутовим коефіцієнтом $k$ і початковою ординатою $b$ (точка перетину з віссю $Oy$ ) має рівняння:

$\boxed{y = kx + b}$

Навпаки, кожне рівняння такого вигляду задає невертикальну пряму з кутовим коефіцієнтом $k$ і початковою ординатою $b$ .

Доведення. Пряма з кутовим коефіцієнтом $k$ , що проходить через $(0{,}\; b)$ : для будь-якої точки $(x{,}\; y)$ на ній (при $x \neq 0$ ) умова нахилу дає $\frac{y - b}{x - 0} = k$ , тобто $y - b = kx$ , звідси $y = kx + b$ . При $x = 0$ : $y = b$ $\checkmark$ . $\blacktriangleleft$

Рівняння прямої, що проходить через дану точку з даним кутовим коефіцієнтом

Якщо пряма має кутовий коефіцієнт $k$ і проходить через відому точку $(x_0{,}\; y_0)$ , то будь-яка інша точка $(x{,}\; y)$ на цій прямій задовольняє:

$\boxed{y - y_0 = k(x - x_0)}$

Це безпосередньо випливає з означення кутового коефіцієнта. Розкриваючи, отримуємо $y = kx + (y_0 - kx_0)$ , тобто рівняння з кутовим коефіцієнтом, де $b = y_0 - kx_0$ .

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

⚡Теорема — Рівняння прямої через дві точки (Теорема 12.2)

Пряма через дві різні точки $A(x_1{,}\; y_1)$ і $B(x_2{,}\; y_2)$ при $x_1 \neq x_2$ має рівняння:

$\boxed{\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}}$

Доведення. Точка $P(x{,}\; y)$ лежить на прямій $AB$ тоді і лише тоді, коли $\overrightarrow{AP}$ і $\overrightarrow{AB}$ колінеарні (паралельні), тобто їхні кутові коефіцієнти рівні:

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Перехресне множення дає рівняння прямої через дві точки. $\blacktriangleleft$

Зауваження. Якщо $x_1 = x_2$ (вертикальна пряма), рівняння має вигляд $x = x_1$ .

Паралельні та перпендикулярні прямі

⚡Теорема — Паралельність і перпендикулярність (Теорема 12.3)

Нехай $\ell_1$ і $\ell_2$ — дві невертикальні прямі з кутовими коефіцієнтами $k_1$ і $k_2$ . Тоді:

$\ell_1 \parallel \ell_2$ (паралельні, різні) $\iff k_1 = k_2$ (і прямі мають різні початкові ординати)
$\ell_1 \perp \ell_2$ (перпендикулярні) $\iff k_1 \cdot k_2 = -1$ , або $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$

Доведення перпендикулярності. Якщо кут нахилу $\ell_1$ дорівнює $\alpha_1$ , то $\ell_2 \perp \ell_1$ означає $\alpha_2 = \alpha_1 + 90°$ . Використовуючи тангенс суми:

$k_2 = \operatorname{tg}(\alpha_1 + 90°) = -\operatorname{ctg}\alpha_1 = -\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha_1} = -\frac{1}{k_1} \qquad \blacktriangleleft$

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Рівняння прямої через дві точки

Складіть рівняння прямої, що проходить через $A(-1{,}\; 3)$ і $B(3{,}\; -1)$ .

Розв’язання. Знаходимо кутовий коефіцієнт:

$k = \frac{-1 - 3}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1$

Застосовуємо рівняння через точку $A(-1{,}\; 3)$ :

$y - 3 = -1 \cdot (x - (-1)) = -(x + 1)$

$y = -x - 1 + 3 = -x + 2$

Перевірка: $A(-1{,}\;3)$ : $-(-1) + 2 = 3$ $\checkmark$ . $B(3{,}\;-1)$ : $-3 + 2 = -1$ $\checkmark$ .

Відповідь: $y = -x + 2$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Перпендикулярна пряма

Знайдіть рівняння прямої, що проходить через $P(2{,}\; 5)$ і перпендикулярна до прямої $y = 3x - 4$ .

Розв’язання. Дана пряма має кутовий коефіцієнт $k_1 = 3$ . Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої:

$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{3}$

Застосовуємо рівняння через точку $P(2{,}\; 5)$ :

$y - 5 = -\frac{1}{3}(x - 2)$

$y = -\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + 5 = -\frac{x}{3} + \frac{17}{3}$

Або в загальній формі: $x + 3y - 17 = 0$ .

Відповідь: $y = -\dfrac{x}{3} + \dfrac{17}{3}$ (або $x + 3y - 17 = 0$ ). $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Кут нахилу

Пряма проходить через початок координат і утворює кут $135°$ з додатним напрямком осі $Ox$ . Складіть її рівняння.

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт: $k = \operatorname{tg} 135° = \operatorname{tg}(180° - 45°) = -\operatorname{tg} 45° = -1$ .

Пряма проходить через початок координат, тому $b = 0$ . Рівняння: $y = -x$ .

Відповідь: $y = -x$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Складіть рівняння прямої:

З кутовим коефіцієнтом $k = 2$ , що проходить через $(0{,}\; -3)$
Через точки $A(0{,}\; 4)$ і $B(6{,}\; 0)$
Через $C(-2{,}\; 1)$ і $D(4{,}\; 4)$

✏Вправа

Для кожної пари прямих визначте, чи є вони паралельними, перпендикулярними або жодними з цих.

$y = 2x + 1$ і $y = 2x - 5$
$y = 3x$ і $y = -\dfrac{1}{3}x + 7$
$y = 4x - 2$ і $y = -4x + 2$

Підказка: Перевіряйте кутові коефіцієнти — однакові коефіцієнти означають паралельність; добуток коефіцієнтів $= -1$ означає перпендикулярність.

✏Вправа

Трикутник має вершини $A(0{,}\; 0)$ , $B(4{,}\; 0)$ , $C(2{,}\; 6)$ .

Знайдіть рівняння кожної сторони трикутника.
Знайдіть рівняння медіани з $C$ до сторони $AB$ .
Знайдіть рівняння висоти з $C$ до сторони $AB$ .