Метод координат

Доведіть за допомогою координат, що діагоналі прямокутника перетинаються в їхніх серединах.

Доведення. Розмістимо прямокутник так, щоб одна вершина збіглася з початком координат: $A(0{,}\; 0)$, $B(a{,}\; 0)$, $C(a{,}\; b)$, $D(0{,}\; b)$, де $a{,}\; b > 0$.

Дві діагоналі: $AC$ (від $A(0{,}0)$ до $C(a{,}b)$) і $BD$ (від $B(a{,}0)$ до $D(0{,}b)$).

Середина $AC$:

$M_{AC} = \left(\frac{0 + a}{2},\; \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2},\; \frac{b}{2}\right)$

Середина $BD$:

$M_{BD} = \left(\frac{a + 0}{2},\; \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2},\; \frac{b}{2}\right)$

Оскільки $M_{AC} = M_{BD}$, діагоналі мають спільну середину, тобто перетинаються в своїх серединах. $\blacktriangleleft$

Знайдіть геометричне місце всіх точок, рівновіддалених від $A(1{,}\; 3)$ і $B(5{,}\; 1)$.

Розв’язання. Нехай $P(x{,}\; y)$ задовольняє $|PA| = |PB|$. Тоді:

$|PA|^2 = |PB|^2$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 5)^2 + (y - 1)^2$

Розкриваємо обидві частини:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1$

$-2x + 1 - 6y + 9 = -10x + 25 - 2y + 1$

$8x - 4y - 16 = 0$

$2x - y - 4 = 0 \quad \text{тобто} \quad y = 2x - 4$

Геометрична інтерпретація. Це серединний перпендикуляр до відрізка $AB$.

Перевірка: середина $AB$ — точка $M(3{,}\; 2)$, і $y = 2 \cdot 3 - 4 = 2$ $\checkmark$. Кутовий коефіцієнт $AB$: $k_{AB} = \frac{1-3}{5-1} = -\frac{1}{2}$, а серединного перпендикуляра: $k = 2$, і $k_{AB} \cdot k = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$ $\checkmark$ (перпендикулярні).

Відповідь: ГМТ — пряма $2x - y - 4 = 0$. $\blacktriangleleft$

Доведіть за допомогою координат, що три медіани трикутника $ABC$ перетинаються в одній точці.

Доведення. Розмістимо трикутник з вершинами $A(0{,}\; 0)$, $B(2b{,}\; 0)$, $C(2c{,}\; 2d)$ (координати обрані так, щоб середини сторін мали цілі координати).

Середини сторін:

• $M_A$ = середина $BC$ = $\left(b + c,\; d\right)$
• $M_B$ = середина $AC$ = $\left(c,\; d\right)$
• $M_C$ = середина $AB$ = $\left(b,\; 0\right)$

Точка $G = \left(\dfrac{0 + 2b + 2c}{3},\; \dfrac{0 + 0 + 2d}{3}\right) = \left(\dfrac{2(b+c)}{3},\; \dfrac{2d}{3}\right)$ ділить кожну медіану у відношенні $2:1$ від вершини до середини протилежної сторони.

Перевіримо, що $G$ лежить на медіані $AM_A$ (від $A(0{,}0)$ до $M_A(b+c{,}\; d)$):

$G$ ділить $AM_A$ у відношенні $2:1$, тому $G = \left(\frac{2(b+c)}{3}{,}\; \frac{2d}{3}\right)$ $\checkmark$.

З симетрії аргументу $G$ лежить на всіх трьох медіанах. Отже, медіани перетинаються в точці $G$. $\blacktriangleleft$

Доведіть за допомогою координат, що середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма (теорема Варіньона).

Підказка: Позначте вершини чотирикутника $A(x_1{,}\; y_1)$, $B(x_2{,}\; y_2)$, $C(x_3{,}\; y_3)$, $D(x_4{,}\; y_4)$. Знайдіть середини чотирьох сторін, а потім доведіть, що протилежні сторони серединного чотирикутника паралельні (рівні кутові коефіцієнти) і рівні за довжиною.

Знайдіть геометричне місце точок $P(x{,}\; y)$ таких, що $|PA|^2 + |PB|^2 = 50$, де $A(-3{,}\; 0)$ і $B(3{,}\; 0)$.

Опишіть ГМТ геометрично (яку фігуру задає отримане рівняння?).

Доведіть за допомогою координат, що діагоналі ромба є взаємно перпендикулярними.

Підказка: Нехай ромб має вершини $A(a{,}\; 0)$, $B(0{,}\; b)$, $C(-a{,}\; 0)$, $D(0{,}\; -b)$. Обчисліть кутові коефіцієнти діагоналей $AC$ і $BD$ та переконайтесь, що їхній добуток дорівнює $-1$.

Точка $P$ рухається так, що вона завжди вдвічі далі від $A(6{,}\; 0)$, ніж від початку координат $O(0{,}\; 0)$: тобто $|PA| = 2|PO|$. Знайдіть і визначте ГМТ точки $P$.

Підказка: Запишіть $|PA|^2 = 4|PO|^2$, розкрийте та виділіть повний квадрат.