Загальне рівняння прямої

Кожну пряму на координатній площині можна описати лінійним рівнянням від $x$ і $y$ , і навпаки — кожне таке рівняння задає пряму. Цей факт робить лінійні рівняння основним алгебраїчним інструментом для роботи з прямими.

Загальна форма

📐Означення — Загальне рівняння прямої

Рівняння вигляду

$\boxed{Ax + By + C = 0}$

де $A$ , $B$ , $C$ — дійсні числа, причому $A$ і $B$ не рівні нулю одночасно, називається загальним рівнянням прямої.

Кожна пряма на площині має рівняння такого вигляду, і кожне рівняння такого вигляду (при $(A, B) \neq (0, 0)$ ) задає пряму.

Часткові випадки:

$B = 0$ : рівняння $Ax + C = 0$ дає $x = -C/A$ — вертикальна пряма.
$A = 0$ : рівняння $By + C = 0$ дає $y = -C/B$ — горизонтальна пряма.
$C = 0$ : пряма проходить через початок координат.

Рівняння прямої у відрізках на осях

Якщо пряма перетинає вісь $Ox$ у точці $(a{,}\; 0)$ і вісь $Oy$ у точці $(0{,}\; b)$ (де $a \neq 0$ , $b \neq 0$ ), то її можна записати у вигляді рівняння прямої у відрізках:

$\boxed{\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1}$

Виведення. Пряма проходить через $(a{,}\; 0)$ і $(0{,}\; b)$ . Перевірка: підстановка $(a{,}\;0)$ дає $\frac{a}{a} + 0 = 1$ $\checkmark$ ; підстановка $(0{,}\;b)$ дає $0 + \frac{b}{b} = 1$ $\checkmark$ . Розкриваємо: $bx + ay = ab$ , тобто $bx + ay - ab = 0$ — загальна форма з $A = b$ , $B = a$ , $C = -ab$ .

Паралельні та збіжні прямі

Дві прямі $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ і $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ є:

Паралельними (різними), якщо $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$
Збіжними (однакова пряма), якщо $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$
Такими, що перетинаються, в інших випадках (відношення $A_1:A_2$ і $B_1:B_2$ не рівні)

Простіше кажучи: паралельні прямі мають однаковий «напрямок» (однакове відношення $A:B$ ), але різні $C$ .

Відстань від точки до прямої

⚡Теорема — Відстань від точки до прямої (Теорема 11.1)

Відстань від точки $P(x_0{,}\; y_0)$ до прямої $\ell: Ax + By + C = 0$ дорівнює:

$\boxed{d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$

Нарис доведення. Нехай $Q$ — основа перпендикуляра, опущеного з $P$ на $\ell$ . Пряма через $P$ , перпендикулярна до $\ell$ , має вектор напрямку $(A{,}\; B)$ (нормаль до $\ell$ ), тому її параметричне рівняння: $x = x_0 + At$ , $y = y_0 + Bt$ . Підставляємо в $Ax + By + C = 0$ :

$A(x_0 + At) + B(y_0 + Bt) + C = 0$ $Ax_0 + By_0 + C + (A^2 + B^2)t = 0$ $t = -\frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2}$

Відстань $|PQ|$ дорівнює $|t| \cdot \sqrt{A^2 + B^2}$ :

$d = |t| \sqrt{A^2 + B^2} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{A^2 + B^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \qquad \blacktriangleleft$

Відстань між паралельними прямими

Для двох паралельних прямих $\ell_1: Ax + By + C_1 = 0$ і $\ell_2: Ax + By + C_2 = 0$ (однакові $A$ і $B$ ) відстань між ними:

$d(\ell_1, \ell_2) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Це випливає з того, що достатньо взяти будь-яку точку $\ell_1$ і обчислити її відстань до $\ell_2$ .

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Відстань від точки до прямої

Знайдіть відстань від точки $P(3{,}\; -1)$ до прямої $4x - 3y + 2 = 0$ .

Розв’язання. Тут $A = 4$ , $B = -3$ , $C = 2$ , $x_0 = 3$ , $y_0 = -1$ :

$d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{17}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$

Відповідь: $d = \dfrac{17}{5} = 3{,}4$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Паралельні прямі

Чи є прямі $2x - 4y + 7 = 0$ і $x - 2y + 1 = 0$ паралельними? Якщо так, знайдіть відстань між ними.

Розв’язання. Множимо друге рівняння на 2: $2x - 4y + 2 = 0$ . Порівнюємо з $2x - 4y + 7 = 0$ : відношення коефіцієнтів при $x$ і $y$ рівні ( $\frac{2}{2} = \frac{-4}{-4} = 1$ ), але $\frac{7}{2} \neq 1$ . Прямі паралельні.

При $A = 2$ , $B = -4$ , $C_1 = 7$ , $C_2 = 2$ :

$d = \frac{|7 - 2|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Відповідь: Прямі паралельні, відстань $= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Складання загального рівняння прямої

Пряма проходить через $A(2{,}\; 1)$ і є перпендикулярною до прямої $3x - y + 5 = 0$ . Складіть її загальне рівняння.

Розв’язання. Дана пряма має вектор нормалі $(3{,}\; -1)$ , отже її вектор напрямку — $(1{,}\; 3)$ . Перпендикулярна пряма має вектор напрямку $(3{,}\; -1)$ (або, що еквівалентно, вектор нормалі $(1{,}\; 3)$ ). Рівняння перпендикулярної прямої через $A(2{,}\;1)$ :

$1 \cdot (x - 2) + 3 \cdot (y - 1) = 0 \implies x + 3y - 5 = 0$

Відповідь: $x + 3y - 5 = 0$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Знайдіть відстань від кожної точки до заданої прямої.

$P(0{,}\; 0)$ до прямої $5x + 12y - 26 = 0$
$P(1{,}\; 2)$ до прямої $x - y + 3 = 0$
$P(-1{,}\; 4)$ до прямої $3x + 4y - 12 = 0$

✏Вправа

Для кожної пари прямих визначте, чи є вони паралельними, збіжними або такими, що перетинаються. Якщо паралельні — знайдіть відстань між ними.

$2x + y - 3 = 0$ і $4x + 2y + 5 = 0$
$x - 3y + 6 = 0$ і $2x + y - 1 = 0$
$3x - 6y + 9 = 0$ і $x - 2y + 3 = 0$

✏Вправа

Складіть загальне рівняння прямої, що:

Проходить через $A(1{,}\; 3)$ з відрізком $-2$ на осі $Ox$ (тобто проходить через $(-2{,}\; 0)$ )
Відтинає відрізок $4$ на осі $Ox$ і відрізок $-3$ на осі $Oy$ (застосуйте рівняння у відрізках, потім перетворіть)
Проходить через $B(0{,}\; 5)$ і паралельна до $2x - 3y + 1 = 0$