Рівняння фігури

В аналітичній геометрії будь-яку геометричну фігуру — пряму, коло, параболу або складнішу криву — можна описати алгебраїчним рівнянням. Цей зв’язок між геометрією та алгеброю є основою аналітичної геометрії.

Що таке рівняння фігури?

📐Означення — Рівняння фігури

Рівняння $F(x, y) = 0$ називають рівнянням фігури $\Phi$ , якщо виконуються дві умови:

Повнота: Кожна точка фігури $\Phi$ задовольняє рівняння, тобто якщо $(x_0, y_0) \in \Phi$ , то $F(x_0, y_0) = 0$ .
Достатність: Кожна точка, координати якої задовольняють рівняння, належить фігурі $\Phi$ , тобто якщо $F(x_0, y_0) = 0$ , то $(x_0, y_0) \in \Phi$ .

Інакше кажучи, фігура $\Phi$ — це точно множина розв’язків рівняння $F(x, y) = 0$ на координатній площині.

Зауваження. Одне рівняння $F(x{,}y) = 0$ , як правило, задає криву (одновимірну множину точок). Два одночасних рівняння зазвичай задають окремі точки (перетини двох кривих).

Геометричне місце точок

Геометричне місце точок (ГМТ) — це множина всіх точок площини, що задовольняють задану геометричну умову. Рівняння фігури є алгебраїчним виразом умови, що визначає ГМТ.

Стандартний приклад: ГМТ, рівновіддалених від фіксованого центру $O$ на відстань $r$ , — це коло радіуса $r$ . Виведемо його рівняння.

Рівняння кола

⚡Теорема — Рівняння кола (Теорема 10.1)

Рівняння кола з центром $(a{,}\; b)$ і радіусом $r > 0$ :

$\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$

Доведення. Точка $P(x{,}\; y)$ лежить на цьому колі тоді і лише тоді, коли її відстань від центру $(a{,}\; b)$ дорівнює $r$ :

$|CP| = r \iff \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \iff (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \qquad \blacktriangleleft$

Часткові випадки:

Одиничне коло (центр у початку координат, радіус 1): $x^2 + y^2 = 1$
Коло з центром у початку координат і радіусом $r$ : $x^2 + y^2 = r^2$

Розкриття рівняння кола

Стандартну форму $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ можна розкрити:

$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$

Позначаючи $D = -2a$ , $E = -2b$ , $F = a^2 + b^2 - r^2$ , отримуємо загальну форму:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Навпаки, будь-яке рівняння такого вигляду (за умови $D^2 + E^2 - 4F > 0$ ) задає коло. Виділення повного квадрата дозволяє знайти центр і радіус.

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Складання рівняння кола

Складіть рівняння кола з центром $K(-2{,}\; 3)$ і радіусом $5$ .

Розв’язання. Підставляємо $a = -2$ , $b = 3$ , $r = 5$ у стандартну форму:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Відповідь: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Знаходження центру і радіуса

Знайдіть центр і радіус кола $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ .

Розв’язання. Виділяємо повний квадрат за $x$ і за $y$ :

$\underbrace{(x^2 - 6x + 9)}_{(x-3)^2} + \underbrace{(y^2 + 4y + 4)}_{(y+2)^2} = 3 + 9 + 4 = 16$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Порівнюємо з $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ : центр $C(3{,}\; -2)$ і радіус $r = 4$ .

Відповідь: Центр $(3{,}\; -2)$ , радіус $4$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 3 — Задача на ГМТ

Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від точок $A(0{,}\; 0)$ і $B(4{,}\; 0)$ .

Розв’язання. Нехай $P(x{,}\; y)$ — довільна точка, для якої $|PA| = |PB|$ . Тоді:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

Зводячи в квадрат обидві частини:

$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$0 = -8x + 16 \implies x = 2$

ГМТ — вертикальна пряма $x = 2$ , тобто серединний перпендикуляр до відрізка $AB$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Складіть рівняння кожного кола.

Центр $(0{,}\; 0)$ , радіус $7$
Центр $(3{,}\; -4)$ , радіус $\sqrt{5}$
Центр $(-1{,}\; 6)$ , яке проходить через початок координат $O(0{,}\;0)$

Підказка до (3): Радіус дорівнює відстані від центру до початку координат.

✏Вправа

Знайдіть центр і радіус кожного кола.

$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 20 = 0$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0$
$(x + 1)^2 + y^2 = 9$

✏Вправа

Коло проходить через три точки: $A(1{,}\; 0)$ , $B(-1{,}\; 0)$ і $C(0{,}\; 2)$ . Складіть його рівняння.

Підказка: Підставте кожну точку в $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ і складіть систему трьох рівнянь, а потім знайдіть $D$ , $E$ , $F$ .