Поняття вектора

Вектором називають упорядковану пару точок $(A, B)$ на площині, яку записують $\overrightarrow{AB}$.

• Точка $A$ називається початком вектора, точка $B$ — кінцем.
• Довжина (або модуль) вектора $\overrightarrow{AB}$ — це відстань між точками $A$ і $B$:

$|\overrightarrow{AB}| = AB$

• Вектор часто позначають однією літерою зі стрілкою: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\overrightarrow{AB}$.

Нульовим вектором $\vec{0}$ називають вектор, початок і кінець якого збігаються: $A = B$. Його довжина дорівнює нулю: $|\vec{0}| = 0$.

Нульовий вектор не має визначеного напряму; за домовленістю він вважається паралельним (колінеарним) кожному вектору.

Два вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ називають рівними ($\vec{a} = \vec{b}$) тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий модуль і однаковий напрям.

Еквівалентно: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ тоді і тільки тоді, коли $ABDC$ — паралелограм (або $A = C$ і $B = D$).

Вектором, протилежним до $\vec{a}$, називають вектор $-\vec{a}$. Він має такий самий модуль, що й $\vec{a}$, але протилежний напрям:

$|-\vec{a}| = |\vec{a}|, \qquad -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$

Два вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних або на одній прямій. Тобто $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні, якщо вони мають однаковий або протилежний напрям.

Нульовий вектор $\vec{0}$ є колінеарним до кожного вектора.

Дано точки $A(1, 2)$, $B(4, 5)$, $C(3, 0)$, $D(6, 3)$. Доведіть, що $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

Розв’язання. Обчислимо проекції:

$\overrightarrow{AB}: \quad \Delta x = 4 - 1 = 3,\quad \Delta y = 5 - 2 = 3$

$\overrightarrow{CD}: \quad \Delta x = 6 - 3 = 3,\quad \Delta y = 3 - 0 = 3$

Обидва вектори мають однакові проекції $(3, 3)$, тому однаковий модуль $\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ і однаковий напрям. Отже, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. $\blacktriangleleft$

Нехай $\vec{a} = \overrightarrow{PQ}$, де $P = (0, 0)$, $Q = (2, -3)$.

(a) Запишіть протилежний вектор $-\vec{a}$. (b) Чи є $\overrightarrow{PQ}$ і $\overrightarrow{RS}$ колінеарними, якщо $R = (1, 1)$, $S = (3, -2)$?

Розв’язання.

(a) $-\vec{a} = \overrightarrow{QP}$ — починається в $Q = (2, -3)$ і закінчується в $P = (0, 0)$. Його проекції $(-2, 3)$ — протилежні до $(2, -3)$. При цьому $|\!-\vec{a}| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} = |\vec{a}|$. $\checkmark$

(b) Проекції $\overrightarrow{RS}$: $(3-1,\; -2-1) = (2, -3)$. Це збігається з проекціями $\overrightarrow{PQ}$, тому вектори рівні (а значить, колінеарні). $\blacktriangleleft$

Дано точки $M(2, 1)$, $N(5, 4)$, $K(-1, 3)$, $L(2, 6)$.

(a) Чи є $\overrightarrow{MN}$ і $\overrightarrow{KL}$ рівними? (b) Запишіть вектор, протилежний до $\overrightarrow{MN}$. (c) Знайдіть $|\overrightarrow{MN}|$.

Дано три вектори $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$: $\vec{a}$ має модуль $5$ і напрямлений на північ; $\vec{b}$ має модуль $5$ і напрямлений на південь; $\vec{c}$ має модуль $3$ і напрямлений на північ.

(a) Які пари векторів є колінеарними? (b) Які пари є рівними? (c) Виразіть вектор $-\vec{b}$ через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Підказка: Вектори є рівними лише тоді, коли збігаються і модуль, і напрям.