Множення вектора на число. Застосування векторів до розв’язування задач

Нехай $\vec{a}$ — вектор, а $k$ — дійсне число. Добуток $k\vec{a}$ — це вектор, визначений так:

• $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ (модуль масштабується на $|k|$)
• Якщо $k > 0$: $k\vec{a}$ має той самий напрям, що й $\vec{a}$
• Якщо $k < 0$: $k\vec{a}$ має протилежний напрям до $\vec{a}$
• Якщо $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$ для будь-якого $\vec{a}$

Зокрема, $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ (протилежний вектор).

Якщо $\vec{a} = (a_1, a_2)$ і $k \in \mathbb{R}$, то:

$\boxed{k\vec{a} = (ka_1,\; ka_2)}$

Доведення. У стандартному положенні $\vec{a}$ веде від $O = (0,0)$ до $A = (a_1, a_2)$. Точка $kA = (ka_1, ka_2)$ лежить на промені $OA$ (з того ж боку від $O$ при $k > 0$, з протилежного при $k < 0$) на відстані $|k| \cdot |OA| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Тому $k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$. $\blacktriangleleft$

Для векторів $\vec{a}$, $\vec{b}$ і чисел $k$, $m$:

1. Розподільна відносно векторів: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
2. Розподільна відносно чисел: $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
3. Сполучна: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$
4. Одиничний елемент: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$
5. Нульовий множник: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$
6. Нульовий вектор: $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Нехай $\vec{a} \neq \vec{0}$. Вектор $\vec{b}$ є колінеарним до $\vec{a}$ тоді і тільки тоді, коли існує дійсне число $k$ таке, що:

$\boxed{\vec{b} = k\vec{a}}$

Доведення ($\Rightarrow$). Якщо $\vec{b} \parallel \vec{a}$ і $\vec{b} \neq \vec{0}$, покладемо $k = |\vec{b}|/|\vec{a}|$ при однаковому напрямі і $k = -|\vec{b}|/|\vec{a}|$ при протилежному. Тоді $|k\vec{a}| = |\vec{b}|$ і напрями збігаються, тому $\vec{b} = k\vec{a}$. При $\vec{b} = \vec{0}$ беремо $k = 0$.

Доведення ($\Leftarrow$). Якщо $\vec{b} = k\vec{a}$, то за означенням $k\vec{a}$ паралельний до $\vec{a}$, тобто $\vec{b} \parallel \vec{a}$. $\blacktriangleleft$

Нехай $A$ і $B$ — дві точки з радіус-векторами $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$ відносно початку координат $O$. Точка $C$, яка ділить відрізок $AB$ у відношенні $m : n$ від $A$ (тобто $AC : CB = m : n$), має радіус-вектор:

$\boxed{\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{m}{m+n}\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{n\,\overrightarrow{OA} + m\,\overrightarrow{OB}}{m + n}}$

Окремий випадок — середина відрізка ($m = n$):

$\overrightarrow{OM} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}, \quad \text{тобто} \quad M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Доведення. Оскільки $AC : CB = m : n$, маємо $\overrightarrow{AC} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$. Тоді: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$

Підставляючи $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ і спрощуючи, отримуємо другий вигляд формули. $\blacktriangleleft$

Дано $\vec{a} = (2, -3)$.

(a) Знайдіть $3\vec{a}$ і $-\dfrac{1}{2}\vec{a}$. (b) Покажіть, що $\vec{b} = (-6, 9)$ є колінеарним до $\vec{a}$, і знайдіть $k$ таке, що $\vec{b} = k\vec{a}$.

Розв’язання.

(a) $3\vec{a} = (6, -9)$. $\quad -\dfrac{1}{2}\vec{a} = \left(-1,\; \dfrac{3}{2}\right)$.

(b) Потрібно: $(-6, 9) = k(2, -3)$, звідки $2k = -6 \Rightarrow k = -3$ і $-3k = 9 \Rightarrow k = -3$. Обидва рівняння дають $k = -3$, отже $\vec{b} = -3\vec{a}$ — вектори колінеарні (протилежні напрями). $\blacktriangleleft$

Дано точки $A = (1, 4)$ і $B = (7, -2)$.

(a) Знайдіть середину $M$ відрізка $AB$. (b) Знайдіть точку $C$, яка ділить $AB$ у відношенні $2 : 1$ від $A$.

Розв’язання.

(a) $M = \left(\dfrac{1+7}{2},\; \dfrac{4+(-2)}{2}\right) = (4,\; 1)$.

(b) Застосуємо формулу з $m = 2$, $n = 1$:

$\overrightarrow{OC} = \dfrac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2 + 1} = \dfrac{(1, 4) + 2(7, -2)}{3} = \dfrac{(1 + 14,\; 4 - 4)}{3} = \dfrac{(15, 0)}{3} = (5, 0)$

Відповідь: $M = (4, 1)$; $C = (5, 0)$. $\blacktriangleleft$

Дано $\vec{u} = (-3, 6)$ і $\vec{v} = (1, -2)$.

(a) Обчисліть $2\vec{u} - 3\vec{v}$. (b) Знайдіть число $k$ таке, що $\vec{u} = k\vec{v}$ (якщо існує). (c) Що відповідь до (b) означає щодо напрямів $\vec{u}$ і $\vec{v}$?

Дано точки $P = (-2, 3)$ і $Q = (10, -1)$.

(a) Знайдіть середину відрізка $PQ$. (b) Знайдіть точку $R$, яка ділить $PQ$ у відношенні $1 : 3$ від $P$. (c) Знайдіть точку $S$, яка ділить $PQ$ у відношенні $3 : 1$ від $P$.

Підказка: Для (b) скористайтеся формулою з $m = 1$, $n = 3$.