Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ називають дійсне число:

$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi}$

де $\varphi$ — кут між $\vec{a}$ і $\vec{b}$, причому $0° \leq \varphi \leq 180°$.

Кут $\varphi$ вимірюється при спільному початку обох векторів і береться в межах $[0°, 180°]$.

Якщо $\vec{a} = (a_1, a_2)$ і $\vec{b} = (b_1, b_2)$, то:

$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2}$

Доведення. Відкладемо вектори від початку координат: $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ з $A = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ з $B = (b_1, b_2)$. За теоремою косинусів у трикутнику $OAB$:

$|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|\cos\varphi$

Обчислимо $|AB|^2$ безпосередньо:

$|AB|^2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2a_1 b_1 - 2a_2 b_2$

Оскільки $|OA|^2 = a_1^2 + a_2^2 = |\vec{a}|^2$ і $|OB|^2 = b_1^2 + b_2^2 = |\vec{b}|^2$, підставимо:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2a_1 b_1 - 2a_2 b_2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$

Спрощуємо: $a_1 b_1 + a_2 b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi = \vec{a} \cdot \vec{b}$. $\blacktriangleleft$

Для будь-яких векторів $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ і числа $k$:

1. Переставна властивість: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Квадрат вектора: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
3. Розподільна властивість: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
4. Однорідність: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
5. Нульовий вектор: $\vec{0} \cdot \vec{a} = 0$

Зауважимо: скалярний добуток не є сполучним — вираз $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$ не визначений (ліва частина — число, а не вектор).

Два ненульові вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Доведення. Оскільки $\vec{a} \neq \vec{0}$ і $\vec{b} \neq \vec{0}$, маємо $|\vec{a}| \neq 0$ і $|\vec{b}| \neq 0$. Тоді: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi = 0 \iff \cos\varphi = 0 \iff \varphi = 90°. \quad \blacktriangleleft$

Кут $\varphi$ між ненульовими векторами $\vec{a} = (a_1, a_2)$ і $\vec{b} = (b_1, b_2)$ визначається формулою:

$\boxed{\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\;\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}}$

Оскільки $0° \leq \varphi \leq 180°$, знак $\cos\varphi$ визначає, чи є кут гострим, прямим або тупим.

Знайдіть кут між $\vec{a} = (3, 4)$ і $\vec{b} = (-4, 3)$.

Розв’язання. Обчислимо скалярний добуток:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$

Оскільки $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ і обидва вектори ненульові, вектори перпендикулярні.

Відповідь: $\varphi = 90°$. $\blacktriangleleft$

Знайдіть кут між $\vec{p} = (1, \sqrt{3})$ і $\vec{q} = (2, 0)$.

Розв’язання.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 0 = 2$

$|\vec{p}| = \sqrt{1 + 3} = 2, \qquad |\vec{q}| = \sqrt{4 + 0} = 2$

$\cos\varphi = \dfrac{2}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{2}$

Отже $\varphi = 60°$.

Відповідь: $\varphi = 60°$. $\blacktriangleleft$

Дано $\vec{a} = (5, -2)$ і $\vec{b} = (4, 10)$.

(a) Обчисліть $\vec{a} \cdot \vec{b}$. (b) Чи є $\vec{a}$ і $\vec{b}$ перпендикулярними? Обґрунтуйте відповідь. (c) Знайдіть $|\vec{a}|$ і $|\vec{b}|$.

Дано $\vec{u} = (3, -4)$ і $\vec{v} = (m, 6)$, де $m$ — невідоме.

(a) Знайдіть значення $m$, при якому $\vec{u} \perp \vec{v}$. (b) При знайденому в (a) значенні $m$ знайдіть кут $\varphi$ між $\vec{u}$ і $\vec{u} + \vec{v}$.

Підказка: Для (b) скористайтеся координатною формулою скалярного добутку для $\vec{u}$ і $\vec{u} + \vec{v}$.