Координати вектора

Нехай $A = (x_1, y_1)$ і $B = (x_2, y_2)$ — дві точки площини. Координатами вектора $\overrightarrow{AB}$ називають:

$\boxed{\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1)}$

Якщо $\vec{a} = (a_x, a_y)$, то $a_x$ — це проекція на вісь $Ox$, а $a_y$ — проекція на вісь $Oy$.

Якщо $\vec{a} = (a_x, a_y)$, то:

$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}}$

Доведення. За формулою відстані між двома точками: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$. $\blacktriangleleft$

Два вектори $\vec{a} = (a_x, a_y)$ і $\vec{b} = (b_x, b_y)$ є рівними тоді і тільки тоді, коли рівні відповідні координати:

$\vec{a} = \vec{b} \iff a_x = b_x \text{ та } a_y = b_y$

Дано $A = (3, -1)$ і $B = (-2, 4)$. Знайдіть координати та довжину $\overrightarrow{AB}$.

Розв’язання. Застосуємо формулу координат:

$\overrightarrow{AB} = (-2 - 3,\; 4 - (-1)) = (-5,\; 5)$

Довжина:

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Відповідь: $\overrightarrow{AB} = (-5, 5)$, $|\overrightarrow{AB}| = 5\sqrt{2}$. $\blacktriangleleft$

Вектор $\vec{a} = (4, -3)$ починається в точці $A = (1, 5)$. Знайдіть кінець $B$.

Розв’язання. За означенням координат вектора $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)$, тому:

$x_B - 1 = 4 \implies x_B = 5$ $y_B - 5 = -3 \implies y_B = 2$

Відповідь: $B = (5, 2)$. $\blacktriangleleft$

Дано точки $P = (-3, 2)$ і $Q = (5, -1)$:

(a) Знайдіть координати $\overrightarrow{PQ}$ і $\overrightarrow{QP}$. (b) Обчисліть $|\overrightarrow{PQ}|$. (c) Переконайтесь, що $\overrightarrow{PQ}$ і $\overrightarrow{QP}$ є протилежними векторами.

Вектор $\vec{b} = (-6, 8)$ закінчується в точці $B = (2, 3)$. Знайдіть початкову точку $A$.

Підказка: Запишіть $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$ і складіть рівняння для $x_A$ і $y_A$.