Додавання і віднімання векторів

Щоб додати $\vec{a}$ і $\vec{b}$ за правилом трикутника, треба прикласти початок вектора $\vec{b}$ до кінця вектора $\vec{a}$. Сума $\vec{a} + \vec{b}$ — це вектор від початку $\vec{a}$ до кінця $\vec{b}$:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Щоб додати $\vec{a}$ і $\vec{b}$ за правилом паралелограма, потрібно відкласти обидва вектори від одної точки. Добудувати паралелограм, де $\vec{a}$ і $\vec{b}$ — суміжні сторони. Сума $\vec{a} + \vec{b}$ — це діагональ паралелограма, проведена зі спільного початку.

Для будь-яких векторів $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

1. Переставна властивість: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
2. Сполучна властивість: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
3. Нейтральний елемент: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
4. Протилежний елемент: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Доведення переставної властивості. Нехай $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ і $\vec{b} = \overrightarrow{BC}$. У паралелограмі $ABCD$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Також $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \vec{b}$ і $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$, тому $\vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$. Отже $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$. $\blacktriangleleft$

Якщо $\vec{a} = (a_1, a_2)$ і $\vec{b} = (b_1, b_2)$, то:

$\boxed{\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\; a_2 + b_2)}$

Доведення. Відкладемо $\vec{a}$ від $O = (0,0)$ до $A = (a_1, a_2)$, а $\vec{b}$ від $A$ до $B = (a_1 + b_1,\, a_2 + b_2)$. Тоді $\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{OB} = (a_1 + b_1,\, a_2 + b_2)$. $\blacktriangleleft$

Різниця $\vec{a} - \vec{b}$ визначається як:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

В координатах:

$\boxed{(a_1, a_2) - (b_1, b_2) = (a_1 - b_1,\; a_2 - b_2)}$

Дано $\vec{a} = (3, -2)$ і $\vec{b} = (-1, 5)$. Знайдіть: (a) $\vec{a} + \vec{b}$, (b) $\vec{a} - \vec{b}$, (c) $|\vec{a} + \vec{b}|$.

Розв’язання.

(a) $\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1),\; -2 + 5) = (2, 3)$

(b) $\vec{a} - \vec{b} = (3 - (-1),\; -2 - 5) = (4, -7)$

(c) $|\vec{a} + \vec{b}| = |(2, 3)| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Відповідь: $(2, 3)$; $(4, -7)$; $\sqrt{13}$. $\blacktriangleleft$

У паралелограмі $ABCD$ нехай $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ і $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$. Виразіть діагоналі $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BD}$ через $\vec{a}$ і $\vec{b}$.

Розв’язання. За правилом трикутника:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$

(оскільки $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$).

Для $\overrightarrow{BD}$: з $B$ до $D$ — спочатку проти $\vec{a}$, потім вздовж $\vec{b}$:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$

Відповідь: $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}$. $\blacktriangleleft$

Дано $\vec{p} = (2, 7)$, $\vec{q} = (-4, 3)$, $\vec{r} = (1, -5)$.

(a) Обчисліть $\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$. (b) Обчисліть $\vec{p} - \vec{q}$ і $|\vec{p} - \vec{q}|$. (c) Знайдіть $\vec{x}$ таке, що $\vec{p} + \vec{x} = \vec{r}$.

Дано точки $O = (0, 0)$, $A = (4, 1)$, $B = (-1, 3)$.

(a) Виразіть $\overrightarrow{AB}$ як різницю радіус-векторів з $O$. (b) Знайдіть радіус-вектор точки $C$ такої, що $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$.

Підказка: Для (a) скористайтеся формулою $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.