Числові послідовності

Часто в повсякденному житті нам трапляються об’єкти, з якими зручно мати справу, якщо їх попередньо пронумерувати. Наприклад, номери мають місяці та квартали року, дні тижня, під’їзди та квартири будинку, вагони поїзда. Об’єкти, які пронумеровано послідовними натуральними числами 1, 2, 3, …, $n$ , …, утворюють послідовність.

Означення послідовності

📐Визначення — Послідовність

Послідовністю називають об’єкти, пронумеровані послідовними натуральними числами $1, 2, 3, \ldots, n, \ldots$

Об’єкти, які утворюють послідовність, називають членами послідовності. Кожний член послідовності має свій номер. Якщо член послідовності має номер $n$ , то його називають $n$ -м членом послідовності.

Якщо членами послідовності є числа, то таку послідовність називають числовою.

Наведемо приклади числових послідовностей:

$1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ — послідовність натуральних чисел;
$2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ — послідовність парних чисел;
$0{,}3;\; 0{,}33;\; 0{,}333;\; \ldots$ — послідовність десяткових наближень дробу $\dfrac{1}{3}$ ;
$19, 38, 57, 76, 95$ — послідовність двоцифрових чисел, кратних 19.

Скінченні та нескінченні послідовності

📐Визначення — Скінченні та нескінченні послідовності

Послідовності бувають скінченними і нескінченними. Наприклад, послідовність парних натуральних чисел — це нескінченна послідовність, а послідовність двоцифрових чисел, кратних 19, — це скінченна послідовність.

Для позначення членів послідовності використовують букви з індексами:

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots

Індекс указує порядковий номер члена послідовності. Для позначення самої послідовності використовують записи виду $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ і т. д.

Способи задання послідовності

📐Визначення — Задана послідовність

Послідовність вважають заданою, якщо вказано правило, за допомогою якого можна знайти будь-який її член.

Існує кілька основних способів задання послідовності:

1. Описовий спосіб

Якщо правило описано словами, то такий спосіб задання послідовності називають описовим. Наприклад: «Кожний член послідовності дорівнює остачі при діленні його номера на 3». Випишемо кілька перших членів: $1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, \ldots$

2. Задання таблицею

Якщо послідовність є скінченною, то її можна задати за допомогою таблиці. Наприклад, таблиця кубів одноцифрових натуральних чисел:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$a_n$	1	8	27	64	125	216	343	512	729

3. Задання формулою $n$ -го члена

Послідовність можна задати за допомогою формули $n$ -го члена. Наприклад, формула $x_n = 2^n$ задає послідовність натуральних степенів числа 2:

2, 4, 8, 16, 32, \ldots

Формула $a_n = 2n - 1$ задає послідовність натуральних непарних чисел:

1, 3, 5, 7, 9, \ldots

4. Рекурентний спосіб

📐Визначення — Рекурентна формула

Формулу, яка виражає член послідовності через один або кілька попередніх членів, називають рекурентною формулою (від лат. recurro — повертатися). Умови, які визначають перший або кілька перших членів, називають початковими умовами.

Спосіб задання послідовності за допомогою початкових умов і рекурентної формули називають рекурентним способом задання послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність $(a_n)$ , задану описово: перший член дорівнює 1, а кожний наступний член послідовності в 3 рази більший за попередній:

1, 3, 9, 27, 81, \ldots

Цю саму послідовність можна визначити рекурентно:

a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 3a_n \text{ для будь-якого } n \in \mathbb{N}.

Стаціонарна послідовність

📐Визначення — Стаціонарна послідовність

Послідовність, усі члени якої рівні, називають стаціонарною. Наприклад, формула $c_n = 7$ задає стаціонарну послідовність $7, 7, 7, 7, 7, \ldots$

Зв’язок з функціями

Розглянемо функцію $y = f(x)$ , область визначення якої є множина натуральних чисел або множина $n$ перших натуральних чисел. Тоді функція $f$ задає нескінченну послідовність $f(1), f(2), \ldots, f(n), \ldots$ або скінченну послідовність $f(1), f(2), \ldots, f(n)$ .

Іншими словами, нескінченна послідовність — це відображення множини $\mathbb{N}$ на деяку непорожню множину $A$ , а скінченна послідовність — це відображення множини $\{1, 2, \ldots, n\}$ на деяку непорожню множину $B$ .

Наприклад, функцію $y = x^2$ , $D(y) = \mathbb{N}$ , можна розглядати як послідовність квадратів натуральних чисел: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$

Приклади

✎Приклад — Чи є число членом послідовності?

Умова. Послідовність $(c_n)$ задано формулою $n$ -го члена $c_n = 37 - 3n$ . Чи є членом цієї послідовності число: 1) 19; 2) $-7$ ?

Розв’язання.

Якщо число 19 є членом даної послідовності, то існує таке натуральне значення $n$ , при якому виконується рівність $37 - 3n = 19$ . Звідси $3n = 18$ ; $n = 6$ . Отже, число 19 є шостим членом послідовності $(c_n)$ .
Маємо: $37 - 3n = -7$ ; $3n = 44$ ; $n = 14\tfrac{2}{3}$ . Оскільки число $14\tfrac{2}{3}$ не є натуральним, то число $-7$ не є членом даної послідовності.

Відповідь: 1) Так, $n = 6$ ; 2) ні.

✎Приклад — Рекурентна послідовність і подільність

Умова. Послідовність $(a_n)$ задано рекурентно: $a_1 = 15$ , $a_{n+1} = 7a_n + 1$ . Чи може число 1001 бути членом цієї послідовності?

Розв’язання. Кожний член послідовності $(a_n)$ є цілим числом, яке при діленні на 7 дає в остачі 1. Оскільки число 1001 ділиться на 7 націло ( $1001 = 7 \cdot 143$ ), воно не може бути членом цієї послідовності.

Відповідь: ні.

✎Приклад — Перехід від формули n-го члена до рекурентної

Умова. Послідовність $(a_n)$ задано формулою $n$ -го члена $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ . Задайте її рекурентно.

Розв’язання. Маємо: $a_1 = 2$ . У формулі $n$ -го члена виразимо $n$ через $a_n$ . Маємо: $na_n = n + 1$ ; $n(a_n - 1) = 1$ . Оскільки $a_n \neq 1$ , то можна записати: $n = \dfrac{1}{a_n - 1}$ .

Маємо:

a_{n+1} = \frac{n+2}{n+1} = \frac{\dfrac{1}{a_n - 1} + 2}{\dfrac{1}{a_n - 1} + 1} = \frac{2a_n - 1}{a_n}.

Відповідь: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = \dfrac{2a_n - 1}{a_n}$ .

Послідовність Фібоначчі

ℹПримітка — Числа Фібоначчі та золотий переріз

Розглянемо послідовність $(u_n)$ , яку задано рекурентно такими співвідношеннями:

u_1 = u_2 = 1, \quad u_{n+2} = u_{n+1} + u_n.

Запишемо кілька її перших членів:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots

Члени цієї послідовності називають числами Фібоначчі. Назва пов’язана з тим, що італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі), розв’язуючи популярну в XII ст. задачу про чисельність потомства пари кролів, першим звернув увагу на чудові властивості цієї послідовності.

Числа Фібоначчі мають цілу низку цікавих властивостей. Якщо в послідовності Фібоначчі для кожного $n \in \mathbb{N}$ обчислити відношення $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ , то отримаємо послідовність: $1; 2; 1{,}5; 1{,}(6); 1{,}6; 1{,}625; \ldots$ , яка з ростом $n$ наближається до числа

\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}618.

Це число називають золотим перерізом. Ще в давнину з цим числом люди пов’язували своє уявлення про красу та гармонію. Відношення довжини Парфенона до його висоти наближено дорівнює 1,618.

Французький учений Жак Біне (1786—1856) вказав формулу $n$ -го члена послідовності Фібоначчі:

u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right].

Вправи

✏Вправа — Задачі на послідовності

30.2. Знайдіть чотири перших члени послідовності $(a_n)$ , заданої формулою $n$ -го члена:

$a_n = 4n - 3$
$a_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$
$a_n = \dfrac{2^n}{n}$

30.5. Знайдіть п’ять перших членів послідовності $(a_n)$ , якщо:

$a_1 = 4$ , $a_{n+1} = a_n + 3$
$a_1 = -2$ , $a_2 = 6$ , $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}$

30.7. Послідовність $(a_n)$ задано формулою $n$ -го члена $a_n = 7n + 2$ . Чи є членом цієї послідовності число: 1) 149; 2) 47?