ironfern @ docs ~/math/grade-9/sequences/sum-geometric $

Сума nn перших членів геометричної прогресії

Розглянемо скінченну геометричну прогресію b1,b2,b3,…,bn−1,bnb_1, b_2, b_3, \ldots, b_{n-1}, b_n. Суму членів цієї прогресії позначимо SnS_n:

Sn=b1+b2+b3+…+bn−1+bn.(∗)S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{n-1} + b_n. \qquad (*)

Виведення формули

Спочатку розглянемо задачу, розв’язання якої підкаже, як вивести шукану формулу. Розглянемо геометричну прогресію 1,2,22,…,262,2631, 2, 2^2, \ldots, 2^{62}, 2^{63} і знайдемо суму її членів S64S_{64}:

S64=1+2+22+…+262+263.S_{64} = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{62} + 2^{63}.

Помножимо обидві частини записаної рівності на знаменник прогресії — число 2:

2S64=2+22+…+262+263+264.2S_{64} = 2 + 2^2 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64}.

Знайдемо різницю 2S64−S642S_{64} - S_{64}:

2S64−S64=−1+0+0+…+0+264.2S_{64} - S_{64} = -1 + 0 + 0 + \ldots + 0 + 2^{64}.

Звідси S64=264−1S_{64} = 2^{64} - 1.

ℹПримітка — Легенда про шахівницю

Із цією послідовністю пов’язана старовинна легенда. Індійський мудрець, який придумав гру в шахи, попросив за свій винахід у раджі скромну на перший погляд винагороду: за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зернятко, за другу — 2, за третю — 4 і т. д. — за кожну наступну клітинку вдвічі більше зерняток, ніж за попередню.

Загальна кількість зерен, яку попросив винахідник, дорівнює S64=264−1=18 446 744 073 709 551 615S_{64} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615.

Скористаємося описаним прийомом для знаходження загальної формули. Перепишемо рівність (∗)(*) так:

Sn=b1+b1q+b1q2+b1q3+…+b1qn−2+b1qn−1.S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \ldots + b_1 q^{n-2} + b_1 q^{n-1}.

Помножимо обидві частини цієї рівності на qq:

Snq=b1q+b1q2+b1q3+b1q4+…+b1qn−1+b1qn.S_n q = b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 + \ldots + b_1 q^{n-1} + b_1 q^n.

Знайдемо різницю Snq−SnS_n q - S_n:

Snq−Sn=b1qn−b1.S_n q - S_n = b_1 q^n - b_1.

Отже, Sn(q−1)=b1(qn−1)S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1).

⚡Теорема — Формула суми n перших членів геометричної прогресії

При q≠1q \neq 1:

Sn=b1(qn−1)q−1S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}

Якщо q=1q = 1, то всі члени прогресії дорівнюють першому члену. Тоді Sn=nb1S_n = nb_1.

Приклад

✎Приклад — Знаходження першого члена і знаменника за формулою суми

Умова. Для будь-якого натурального nn суму nn перших членів геометричної прогресії можна обчислити за формулою Sn=10(2n−1)S_n = 10(2^n - 1). Знайдіть перший член і знаменник цієї прогресії.

Розв’язання. Нехай b1b_1 — перший член даної прогресії, qq — її знаменник. Тоді b1=S1=10(21−1)=10b_1 = S_1 = 10(2^1 - 1) = 10; b1+b2=S2=10(22−1)=30b_1 + b_2 = S_2 = 10(2^2 - 1) = 30. Звідси b2=30−b1=20b_2 = 30 - b_1 = 20; q=b2b1=2010=2q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{20}{10} = 2.

Відповідь: b1=10b_1 = 10, q=2q = 2.

Вправи

✏Вправа — Задачі на суму геометричної прогресії

34.1. Знайдіть суму nn перших членів геометричної прогресії (bn)(b_n) зі знаменником qq, якщо:

  1. b1=0,6b_1 = 0{,}6, q=2q = 2, n=5n = 5
  2. b1=−4b_1 = -4, q=−1q = -1, n=10n = 10
  3. b1=−9b_1 = -9, q=3q = \sqrt{3}, n=6n = 6

34.3. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії:

  1. 12,72,432,…12, 72, 432, \ldots
  2. 116,−18,14,…\dfrac{1}{16}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{4}, \ldots

34.10. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 516, а перший член дорівнює 12. Знайдіть знаменник прогресії.

34.11. Сума членів скінченної геометричної прогресії дорівнює 8191. Знайдіть кількість членів прогресії, якщо її перший член b1=1b_1 = 1, а знаменник прогресії q=2q = 2.