Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії

Розглянемо скінченну арифметичну прогресію $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ . Суму членів цієї прогресії позначимо $S_n$ :

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n.

Метод Гаусса

Спочатку розглянемо задачу, розв’язання якої підкаже, як вивести шукану формулу. Розглянемо арифметичну прогресію $1, 2, 3, \ldots, 98, 99, 100$ і знайдемо суму її членів.

Запишемо шукану суму двома способами:

\begin{aligned} S_{100} &= 1 + 2 + 3 + \ldots + 98 + 99 + 100 \\ S_{100} &= 100 + 99 + 98 + \ldots + 3 + 2 + 1 \end{aligned}

Додавши ці рівності, отримуємо:

2S_{100} = \underbrace{101 + 101 + 101 + \ldots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ доданків}}

Звідси $2S_{100} = 101 \cdot 100$ ; $S_{100} = 5050$ .

ℹПримітка — Карл Фрідріх Гаусс

Розповідають, що видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаусс (1777—1855) придумав таке розв’язання у віці 5 років.

Формула суми

Скористаємося описаним прийомом для знаходження суми $S_n$ . Запишемо суму $S_n$ двома способами:

S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + (a_1 + (n-1)d),

S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \ldots + (a_n - (n-1)d).

Додавши ці рівності, отримуємо:

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n) = n(a_1 + a_n).

⚡Теорема — Формула суми n перших членів арифметичної прогресії

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Підставивши до цієї формули вираз $a_n = a_1 + d(n-1)$ , отримуємо еквівалентну формулу:

S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n

Останньою формулою зручно користуватися тоді, коли задано перший член і різницю прогресії.

Приклади

✎Приклад — Сума всіх трицифрових чисел, кратних 6

Умова. Знайдіть суму всіх трицифрових чисел, які кратні 6.

Розв’язання. Дані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої $a_1 = 102$ , а різниця $d = 6$ . Тоді $a_n = 102 + 6(n-1) = 6n + 96$ . Оскільки $a_n < 1000$ , то шукана кількість — це найбільший натуральний розв’язок нерівності $6n + 96 < 1000$ . Маємо:

6n < 904; \quad n < 150\tfrac{2}{3}.

Отже, $n = 150$ . Тепер знайдемо шукану суму:

S_{150} = \frac{2 \cdot 102 + 6 \cdot (150 - 1)}{2} \cdot 150 = 82\,350.

Відповідь: 82 350.

✎Приклад — Знаходження члена прогресії за сумою

Умова. Сума сімдесяти п’яти перших членів арифметичної прогресії дорівнює 450. Знайдіть тридцять восьмий член прогресії.

Розв’язання. Нехай перший член прогресії та її різниця дорівнюють $a_1$ і $d$ відповідно. Тоді можна записати:

S_{75} = \frac{2a_1 + 74d}{2} \cdot 75 = 75(a_1 + 37d) = 450.

Оскільки $a_{38} = a_1 + 37d$ , то шуканий член дорівнює:

a_{38} = 450 : 75 = 6.

Відповідь: 6.

✎Приклад — Послідовність з квадратичною сумою

Умова. Доведіть, що послідовність, суму $n$ перших членів якої можна обчислити за формулою $S_n = an^2 + bn$ , де $a$ і $b$ — деякі числа, є арифметичною прогресією.

Розв’язання. Маємо:

a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = a(n+1)^2 + b(n+1) - an^2 - bn = 2an + a + b.

Отримана рівність $a_{n+1} = 2an + a + b$ дає змогу зробити висновок, що послідовність $a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ є арифметичною прогресією з різницею $2a$ . Якщо покажемо, що $a_2 - a_1 = 2a$ , то задачу буде розв’язано.

Маємо: $a_1 = S_1 = a + b$ ; $a_2 = 2a + a + b = 3a + b$ . Тоді $a_2 - a_1 = 2a$ .

Таким чином, $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ — арифметична прогресія.

Вправи

✏Вправа — Задачі на суму арифметичної прогресії

32.1. Чому дорівнює сума семи перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$ , якщо $a_1 = 9$ і $a_7 = 15$ ?

32.3. Знайдіть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії, перший член якої $a_1 = -6$ , а різниця $d = 4$ .

32.7. Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n$ -го члена $a_n = -4n + 1$ . Знайдіть суму тридцяти двох перших членів прогресії.

32.15. Чому дорівнює сума $n$ перших:

Натуральних чисел;
Непарних натуральних чисел?

Сума nnn перших членів арифметичної прогресії

Метод Гаусса

Формула суми

Приклади

Вправи

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії