Арифметична прогресія

Розглянемо такі послідовності:

2, 7, 12, 17, 22, 27, \ldots; \quad 1;\; 1{,}5;\; 2;\; 2{,}5;\; 3;\; 3{,}5;\; \ldots; \quad 3, 1, -1, -3, -5, -7, \ldots

Їм притаманна така характерна особливість: кожний наступний член послідовності отримано в результаті додавання до попереднього одного й того самого числа. З подібними послідовностями людям доводилося мати справу ще в давні часи, коли вони рахували предмети парами, п’ятірками, десятками. Такі послідовності називають арифметичними прогресіями (від лат. progressio — рух уперед).

Означення

📐Визначення — Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число.

Число, про яке йдеться в означенні, дорівнює різниці наступного й попереднього членів послідовності. Його називають різницею арифметичної прогресії та позначають буквою $d$ (першою буквою латинського слова differentia — різниця).

Отже, якщо $(a_n)$ — арифметична прогресія з різницею $d$ , то

d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \ldots,

тобто для будь-якого натурального $n$ виконується рівність $a_{n+1} - a_n = d$ . Звідси отримуємо рекурентну формулу:

a_{n+1} = a_n + d.

ℹПримітка — Рекурентне задання арифметичної прогресії

Арифметичну прогресію можна задати рекурентно:

a_1 = a, \quad a_{n+1} = a_n + d.

Таким чином, щоб задати арифметичну прогресію, потрібно вказати її перший член і різницю.

Наведемо кілька прикладів:

Якщо $a_1 = 2$ і $d = 5$ , то отримуємо: $2, 7, 12, 17, 22, 27, \ldots$
Якщо $a_1 = 1$ і $d = 2$ , то отримуємо послідовність непарних чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots$
Стаціонарна послідовність є арифметичною прогресією, у якої $d = 0$ .

Формула $n$ -го члена

З означення арифметичної прогресії $(a_n)$ випливає:

a_2 = a_1 + d, \quad a_3 = a_1 + 2d, \quad a_4 = a_1 + 3d, \quad a_5 = a_1 + 4d.

Наведені приклади допомагають дійти такого індуктивного висновку:

⚡Теорема — Формула n-го члена арифметичної прогресії

a_n = a_1 + d(n - 1)

Цю гіпотезу можна довести методом математичної індукції.

Розглянемо функцію $f(x) = kx + b$ , у якої $D(f) = \mathbb{N}$ або $D(f) = \{1, 2, \ldots, n\}$ . Вона є арифметичною прогресією з різницею, яка дорівнює $k$ . Справді, $f(n+1) - f(n) = k(n+1) + b - (kn + b) = k$ . Це означає, що послідовність $f(1), f(2), \ldots, f(n), \ldots$ — арифметична прогресія з різницею, яка дорівнює $k$ .

Властивість членів арифметичної прогресії

⚡Теорема — Характеристична властивість

Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із ним членів. Тобто при $n > 1$ :

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Правильним є й обернене твердження: якщо в послідовності кожний член, крім першого (і останнього, якщо прогресія скінченна), дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із ним членів, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

⚡Теорема — Теорема 31.1

Послідовність, яка містить більше двох членів, є арифметичною прогресією тоді й тільки тоді, коли кожний її член, крім першого (і останнього, якщо послідовність скінченна), дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із ним членів.

Приклади

✎Приклад — Знаходження першого члена і різниці

Умова. Члени арифметичної прогресії $(a_n)$ є цілими числами. Відомо, що $a_3 \cdot a_6 = 406$ і при діленні дев’ятого члена на четвертий у частці отримуємо 2, а в остачі 6. Знайдіть перший член і різницю прогресії.

Розв’язання. Запишемо: $a_3 = a_1 + 2d$ , $a_4 = a_1 + 3d$ , $a_6 = a_1 + 5d$ , $a_9 = a_1 + 8d$ . Тоді з урахуванням умови можна скласти таку систему рівнянь:

\begin{cases} (a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 406, \\ a_1 + 8d = 2(a_1 + 3d) + 6. \end{cases}

Розв’язавши цю систему, отримуємо:

\begin{bmatrix} a_1 = 4, \\ d = 5; \end{bmatrix} \quad \text{або} \quad \begin{bmatrix} a_1 = -\dfrac{79}{7}, \\ d = -\dfrac{37}{14}. \end{bmatrix}

Оскільки за умовою члени послідовності є цілими числами, то шуканою відповіддю буде $a_1 = 4$ , $d = 5$ .

Відповідь: $a_1 = 4$ , $d = 5$ .

✎Приклад — Ірраціональні числа і арифметична прогресія

Умова. Чи можуть числа $1$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ бути членами однієї арифметичної прогресії?

Розв’язання. Припустимо, що числа $1$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ — члени арифметичної прогресії $(a_n)$ з різницею $d$ ( $d \neq 0$ ) і відповідно дорівнюють $a_n$ , $a_m$ , $a_k$ . Тоді можна записати:

1 = a_1 + d(n-1), \quad \sqrt{2} = a_1 + d(m-1), \quad \sqrt{3} = a_1 + d(k-1).

Звідси $\sqrt{2} - 1 = d(m - n)$ , $\sqrt{3} - 1 = d(k - n)$ .

Оскільки $k \neq n$ , то $\dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{m - n}{k - n}$ .

Права частина цієї рівності є раціональним числом. Нескладно показати, що ліва частина рівності — число ірраціональне. Отже, отримана рівність є неправильною.

Таким чином, числа $1$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ не можуть бути членами однієї арифметичної прогресії.

Відповідь: ні.

Вправи

✏Вправа — Задачі на арифметичну прогресію

31.3. Перший член арифметичної прогресії $a_1 = 4$ , а різниця $d = 0{,}4$ . Знайдіть: 1) $a_5$ ; 2) $a_{11}$ ; 3) $a_{32}$ .

31.8. Знайдіть формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії:

$-5, -7, -9, -11, \ldots$
$a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, \ldots$

31.9. Чи є членом арифметичної прогресії $(c_n)$ :

Число 20,4, якщо $c_1 = 11{,}4$ , а різниця прогресії $d = 0{,}6$ ?
Число 38, якщо $c_1 = 8$ , а різниця прогресії $d = 1{,}4$ ?

31.15. Чи є послідовність $(a_n)$ арифметичною прогресією, якщо її задано формулою $n$ -го члена:

$a_n = -6n + 3$
$a_n = 2n^2 - n$
$a_n = -2{,}8n$