ironfern @ docs ~/math/grade-9/sequences/limits-infinite-series $

Границя послідовності. Нескінченна геометрична прогресія

Уявлення про границю послідовності

Розглянемо послідовність (an)(a_n), задану формулою nn-го члена an=nn+1a_n = \dfrac{n}{n+1}. Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:

12,  23,  34,  45,  56,  67,  78,  89,  …\frac{1}{2},\; \frac{2}{3},\; \frac{3}{4},\; \frac{4}{5},\; \frac{5}{6},\; \frac{6}{7},\; \frac{7}{8},\; \frac{8}{9},\; \ldots

Якщо члени цієї послідовності зображати точками на координатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися все ближче й ближче до точки з координатою 1.

📐Визначення — Границя послідовності

Говорять, що зі збільшенням номера nn члени послідовності (an)(a_n) прямують до числа 1. Інакше кажучи, зі збільшенням номера nn різниця ∣an−1∣|a_n - 1| стає все меншою та меншою. Наприклад, ∣an−1∣<0,1|a_n - 1| < 0{,}1 при n⩾10n \geqslant 10, ∣an−1∣<0,0001|a_n - 1| < 0{,}0001 при n⩾10 000n \geqslant 10\,000 і т. д.

Узагалі, починаючи з деякого номера nn різниця ∣an−1∣|a_n - 1| може стати меншою від будь-якого наперед заданого додатного числа.

У цьому разі говорять, що число 1 є границею послідовності ana_n, і записують:

lim⁡n→∞an=1абоnn+1→1 при n→∞.\lim_{n \to \infty} a_n = 1 \quad \text{або} \quad \frac{n}{n+1} \to 1 \text{ при } n \to \infty.
📐Визначення — Збіжна послідовність

Послідовність, яка має границю, називають збіжною. Наприклад, послідовність з nn-м членом an=12na_n = \dfrac{1}{2^n} є ще одним прикладом збіжної послідовності: зі збільшенням номера nn члени цієї послідовності прямують до числа 0, тобто lim⁡n→∞12n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0.

Не будь-яка послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність натуральних чисел не є збіжною. Також не є збіжною послідовність (an)(a_n), де an=(−1)na_n = (-1)^n.

Сума нескінченної геометричної прогресії

Досі ми розглядали суми, які складаються зі скінченної кількості доданків. Проте при розв’язуванні деяких задач доводиться розглядати суми нескінченної кількості доданків.

Проілюструємо на прикладі. Розглянемо квадрат зі стороною 1 і поділимо його на 2 рівні частини. Одну з частин зафарбуємо, а незафарбовану знову поділимо на дві рівні частини, одну з них зафарбуємо, і т. д.

Після nn-го кроку площа зафарбованої фігури дорівнюватиме:

Sn=12+14+18+…+12n.S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}.

Використовуючи формулу суми nn перших членів геометричної прогресії:

Sn=12((12)n−1)12−1=1−(12)n=1−12n.S_n = \frac{\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 - \frac{1}{2^n}.

Оскільки lim⁡n→∞12n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0, то lim⁡n→∞Sn=1\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = 1.

Це означає, що сума nn перших членів геометричної прогресії 12,14,18,…\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots при необмеженому збільшенні nn прямує до числа 1. Тому доцільно домовитися вважати число 1 сумою нескінченної геометричної прогресії 12,14,18,…\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots

Формула суми нескінченної геометричної прогресії

Узагальнимо розглянутий приклад. Розглянемо довільну нескінченну геометричну прогресію b1,b2,b3,…,bn,…b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots, у якої ∣q∣<1|q| < 1.

Сума nn перших її членів обчислюється за формулою Sn=b1(qn−1)q−1S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.

Запишемо:

Sn=b1(qn−1)q−1=b1−b1qn1−q=b11−q−b11−q⋅qn.S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{b_1 - b_1 q^n}{1 - q} = \frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1}{1-q} \cdot q^n.

При ∣q∣<1|q| < 1 виконується рівність lim⁡n→∞qn=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} q^n = 0. Тоді lim⁡n→∞b11−q⋅qn=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{b_1}{1-q} \cdot q^n = 0. Звідси:

lim⁡n→∞Sn=b11−q.\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1-q}.
⚡Теорема — Сума нескінченної геометричної прогресії

Число b11−q\dfrac{b_1}{1-q} називають сумою нескінченної геометричної прогресії (bn)(b_n), у якої ∣q∣<1|q| < 1, і записують:

b1+b2+b3+…+bn+…=b11−q.b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n + \ldots = \frac{b_1}{1-q}.

Якщо суму нескінченної геометричної прогресії позначити буквою SS, то можна записати таку формулу:

S=b11−qS = \frac{b_1}{1 - q}
ℹПримітка — Коли сума існує

Про суму нескінченної геометричної прогресії можна говорити лише тоді, коли ∣q∣<1|q| < 1. Якщо ∣q∣⩾1|q| \geqslant 1, то сума nn перших членів прогресії при необмеженому збільшенні nn не прямує до жодного числа, і сума нескінченної прогресії не існує.

Періодичні десяткові дроби

Формулу суми нескінченної геометричної прогресії можна застосувати для переведення нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

✎Приклад — Переведення періодичного дробу 0,(45) у звичайний дріб

Умова. Подайте нескінченний періодичний десятковий дріб 0,(45)0{,}(45) у вигляді звичайного дробу.

Розв’язання. Подамо це число у вигляді суми:

0,(45)=0,454545…=0,45+0,0045+0,000045+…0{,}(45) = 0{,}454545\ldots = 0{,}45 + 0{,}0045 + 0{,}000045 + \ldots

Доданки 0,45;  0,0045;  0,000045;  …0{,}45;\; 0{,}0045;\; 0{,}000045;\; \ldots є членами нескінченної геометричної прогресії (bn)(b_n), у якої b1=0,45b_1 = 0{,}45, q=0,01q = 0{,}01. Оскільки ∣q∣<1|q| < 1, то можемо знайти суму цієї прогресії:

S=0,451−0,01=0,450,99=4599=511.S = \frac{0{,}45}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}45}{0{,}99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}.

Тому 0,(45)=5110{,}(45) = \dfrac{5}{11}.

Відповідь: 511\dfrac{5}{11}.

✎Приклад — Переведення дробу 0,2(54)

Умова. Подайте нескінченний періодичний десятковий дріб 0,2(54)0{,}2(54) у вигляді звичайного дробу.

Розв’язання. Маємо:

0,2(54)=0,2545454…=0,2+0,054+0,00054+0,0000054+…0{,}2(54) = 0{,}2545454\ldots = 0{,}2 + 0{,}054 + 0{,}00054 + 0{,}0000054 + \ldots

Нескінченний періодичний дріб 0,0545454…0{,}0545454\ldots можна розглядати як суму нескінченної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює b1=0,054b_1 = 0{,}054, а знаменник q=0,01q = 0{,}01. Тоді

0,0545454…=0,0541−0,01=0,0540,99=54990=355.0{,}0545454\ldots = \frac{0{,}054}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}054}{0{,}99} = \frac{54}{990} = \frac{3}{55}.

Звідси 0,2(54)=0,2+0,0(54)=15+355=1155+355=14550{,}2(54) = 0{,}2 + 0{,}0(54) = \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{55} = \dfrac{11}{55} + \dfrac{3}{55} = \dfrac{14}{55}.

Відповідь: 1455\dfrac{14}{55}.

✎Приклад — Знаходження знаменника нескінченної геометричної прогресії

Умова. Знайдіть знаменник нескінченної геометричної прогресії (∣q∣<1|q| < 1), у якої кожний член у 4 рази більший за суму всіх її наступних членів.

Розв’язання. Нехай ana_n — довільний член прогресії, an+1a_{n+1} — наступний за ним член. Розглянемо нескінченну геометричну прогресію з першим членом an+1a_{n+1} і знаменником qq (∣q∣<1|q| < 1). Тоді її сума дорівнюватиме an+11−q\dfrac{a_{n+1}}{1-q}. За умовою an=4an+11−qa_n = \dfrac{4a_{n+1}}{1-q}, тобто an=4anq1−qa_n = \dfrac{4a_n q}{1-q}.

Оскільки жоден член геометричної прогресії не дорівнює нулю, то отримуємо: 1=4q1−q1 = \dfrac{4q}{1-q}. Звідси q=15q = \dfrac{1}{5}.

Відповідь: 15\dfrac{1}{5}.

Вправи

✏Вправа — Задачі на нескінченну геометричну прогресію

35.1. Обчисліть суму нескінченної геометричної прогресії (bn)(b_n) зі знаменником qq, якщо:

  1. b1=24b_1 = 24, q=34q = \dfrac{3}{4}
  2. b1=−84b_1 = -84, q=−13q = -\dfrac{1}{3}

35.5. Подайте нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

  1. 0,1111…0{,}1111\ldots
  2. 0,(5)0{,}(5)
  3. 0,(24)0{,}(24)
  4. 0,416416416…0{,}416416416\ldots

35.7. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

  1. 2,  −1,  12,  …\sqrt{2},\; -1,\; \dfrac{1}{\sqrt{2}},\; \ldots
  2. 33,  3,  3,  …3\sqrt{3},\; 3,\; \sqrt{3},\; \ldots