Геометрична прогресія

Розглянемо послідовності:

1, 3, 9, 27, 81, 243, \ldots; \quad 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots; \quad 5;\; {-}0{,}5;\; 0{,}05;\; {-}0{,}005;\; 0{,}0005;\; \ldots

Їм притаманна така характерна особливість: кожний наступний член послідовності отримано в результаті множення попереднього члена на одне й те саме відмінне від нуля число. Для першої послідовності це число дорівнює 3, для другої — $\dfrac{1}{2}$ , для третьої — $-0{,}1$ . Такі послідовності називають геометричними прогресіями.

Означення

📐Визначення — Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називають послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число.

Число, про яке йдеться в означенні, дорівнює відношенню наступного й попереднього членів послідовності. Його називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою $q$ (першою буквою французького слова quotient — частка).

Отже, якщо $(b_n)$ — геометрична прогресія зі знаменником $q$ , то

q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = \ldots,

тобто для будь-якого натурального $n$ виконується рівність $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q$ . Звідси отримуємо рекурентну формулу $b_{n+1} = b_n q$ .

ℹПримітка — Рекурентне задання геометричної прогресії

Геометричну прогресію можна задати рекурентно:

b_1 = b, \quad b_{n+1} = b_n q.

Отже, щоб задати геометричну прогресію, потрібно вказати її перший член і знаменник.

Наведемо кілька прикладів:

Якщо $b_1 = 1$ і $q = 3$ , то: $1, 3, 9, 27, 81, 243, \ldots$
Якщо $b_1 = 2$ і $q = 2$ , то: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, \ldots$
Стаціонарна послідовність, усі члени якої відмінні від нуля, є одночасно і арифметичною, і геометричною прогресією (зі знаменником $q = 1$ ).

Формула $n$ -го члена

З означення геометричної прогресії випливає:

b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_3 = b_1 q^2, \quad b_4 = b_1 q^3, \quad b_5 = b_1 q^4.

Наведені приклади допомагають дійти такого індуктивного висновку:

⚡Теорема — Формула n-го члена геометричної прогресії

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Цю гіпотезу можна довести методом математичної індукції.

Порівняння зростання арифметичної та геометричної прогресій

Розглянемо дві послідовності:

Арифметична прогресія $(a_n)$ , у якої $a_1 = 1$ , $d = 2$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, \ldots$
Геометрична прогресія $(b_n)$ , у якої $b_1 = 1$ , $q = 2$ : $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, \ldots$

Порівнюючи відповідні члени цих послідовностей, бачимо, що геометрична прогресія «зростає» набагато швидше, ніж арифметична. Наприклад, в арифметичній прогресії $a_{20} = 1 + 2 \cdot 19 = 39$ , а в геометричній $b_{20} = 1 \cdot 2^{19} = 524\,288$ .

Властивість членів геометричної прогресії

⚡Теорема — Характеристична властивість

Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, крім першого (і останнього, якщо послідовність є скінченною), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів. Тобто при $n > 1$ :

b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}

Якщо всі члени геометричної прогресії $(b_n)$ є додатними, то можна записати:

b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}.

⚡Теорема — Теорема 33.1

Послідовність $(b_n)$ , яка містить більше двох членів і всі члени якої відмінні від нуля, є геометричною прогресією тоді й тільки тоді, коли для будь-якого $n \geqslant 2$ виконується рівність $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$ .

Приклади

✎Приклад — Знаходження четвертого члена і знаменника

Умова. Знайдіть четвертий член і знаменник геометричної прогресії $(b_n)$ , якщо $b_3 = 36$ , $b_5 = 49$ .

Розв’язання. За властивістю геометричної прогресії $b_4^2 = b_3 b_5$ , звідси $b_4 = \sqrt{36 \cdot 49} = 6 \cdot 7 = 42$ або $b_4 = -\sqrt{b_3 b_5} = -42$ .

Якщо $b_4 = 42$ , то знаменник прогресії $q = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{42}{36} = \dfrac{7}{6}$ ; якщо $b_4 = -42$ , то $q = -\dfrac{7}{6}$ .

Відповідь: $b_4 = 42$ , $q = \dfrac{7}{6}$ або $b_4 = -42$ , $q = -\dfrac{7}{6}$ .

✎Приклад — Добуток членів геометричної прогресії

Умова. У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_{10} = 2$ . Знайдіть добуток дев’ятнадцяти перших членів цієї прогресії.

Розв’язання. Маємо:

b_1 b_2 b_3 \cdot \ldots \cdot b_{19} = b_1 \cdot b_1 q \cdot b_1 q^2 \cdot \ldots \cdot b_1 q^{18} = b_1^{19} \cdot q^{1+2+\ldots+18} = b_1^{19} \cdot q^{\frac{18 \cdot 19}{2}} = b_1^{19} \cdot q^{19 \cdot 9} = (b_1 q^9)^{19} = (b_{10})^{19} = 2^{19}.

Відповідь: $2^{19}$ .

✎Приклад — Геометрична та арифметична прогресії одночасно

Умова. Знайдіть усі трійки чисел, які утворюють геометричну прогресію та мають такі властивості: сума цих чисел дорівнює 63, а коли до цих чисел додати відповідно 7, 18 і 2, то буде отримано арифметичну прогресію.

Розв’язання. Шукані числа запишемо так: $a$ , $aq$ , $aq^2$ . Тоді числа $a + 7$ , $aq + 18$ , $aq^2 + 2$ утворюють арифметичну прогресію. Звідси $2(aq + 18) = a + 7 + aq^2 + 2$ . З урахуванням умови отримуємо систему

\begin{cases} a + aq + aq^2 = 63, \\ a - 2aq + aq^2 = 27. \end{cases}

Поділимо почленно ліві та праві частини рівнянь системи. Отримаємо: $\dfrac{1 + q + q^2}{1 - 2q + q^2} = \dfrac{7}{3}$ . Розв’язавши це рівняння, отримаємо $q = 4$ або $q = \dfrac{1}{4}$ .

Якщо $q = 4$ , то $a = 3$ ; якщо $q = \dfrac{1}{4}$ , то $a = 48$ .

Відповідь: 3, 12, 48 або 48, 12, 3.

Вправи

✏Вправа — Задачі на геометричну прогресію

33.2. Шостий член геометричної прогресії $(b_n)$ дорівнює 8, а знаменник дорівнює $-4$ . Знайдіть сьомий член прогресії.

33.5. У геометричній прогресії $(y_n)$ перший член $y_1 = 64$ , а знаменник $q = -\dfrac{1}{2}$ . Знайдіть: 1) $y_6$ ; 2) $y_{10}$ .

33.7. Знайдіть знаменник і п’ятий член геометричної прогресії $\dfrac{1}{216}$ , $\dfrac{1}{36}$ , $\dfrac{1}{6}$ , $\ldots$

33.13. Знайдіть знаменник геометричної прогресії $(b_n)$ , якщо:

$b_1 = \dfrac{1}{2}$ , $b_8 = 64$
$b_6 = 75$ , $b_8 = 27$