Перетворення (відображення) фігур

Перетворенням (або відображенням) площини називають правило $f$, яке кожній точці $A$ площини ставить у відповідність єдину точку $A' = f(A)$, що називається образом точки $A$. Початкову точку $A$ називають прообразом точки $A'$.

Перетворення $f$ називається бієкцією (взаємно однозначним відображенням), якщо кожна точка площини є образом рівно одного прообразу. Еквівалентно:

• Ін’єктивність: $f(A) = f(B)$ означає $A = B$ (різні точки мають різні образи).
• Сюр’єктивність: кожна точка $P$ площини має прообраз, тобто існує $A$ таке, що $f(A) = P$.

Усі геометричні перетворення шкільного курсу (паралельне перенесення, симетрії, поворот, гомотетія) є бієкціями.

Бієкція $f$ площини називається рухом (або ізометрією), якщо вона зберігає відстань між будь-якою парою точок:

$\boxed{|A'B'| = |AB| \quad \text{для будь-яких точок } A, B \text{ площини}}$

де $A' = f(A)$, $B' = f(B)$.

Рух називається прямим (таким, що зберігає орієнтацію), якщо він переводить кожну фігуру в рівну їй фігуру з тією самою орієнтацією — тобто фігура, обхід якої здійснювався проти годинникової стрілки, переходить у фігуру з таким самим обходом.

Рух називається непрямим (таким, що змінює орієнтацію), якщо він змінює орієнтацію — фігура з обходом проти годинникової стрілки переходить у фігуру з обходом за годинниковою стрілкою.

Трикутники $ABC$ і $A'B'C'$ мають вершини $A(1,0)$, $B(4,0)$, $C(4,3)$ та $A'(-1,0)$, $B'(-4,0)$, $C'(-4,-3)$. Визначте, яке перетворення переводить $\triangle ABC$ у $\triangle A'B'C'$, і вкажіть, чи є воно прямим.

Розв’язання. Порівняємо координати відповідних точок:

$A(1,0) \to A'(-1,0), \quad B(4,0) \to B'(-4,0), \quad C(4,3) \to C'(-4,-3).$

Кожна точка-образ отримується зміною знаку обох координат: $(x,y) \to (-x,-y)$. Це центральна симетрія відносно початку координат.

Перевіримо відстані: $|AB| = 3$, $|A'B'| = 3$ ✓; $|BC| = 3$, $|B'C'| = 3$ ✓; $|CA| = 3\sqrt{2}$, $|C'A'| = 3\sqrt{2}$ ✓. Отже, $f$ є рухом.

Орієнтація: вершини $A, B, C$ обходяться проти годинникової стрілки, і $A', B', C'$ — теж. Центральна симетрія є прямим рухом. $\blacktriangleleft$

Чи є відображення $f(x, y) = (x + 2,\; |y|)$ рухом площини?

Розв’язання. Візьмемо $A = (0, 1)$ і $B = (0, -1)$. Тоді $A' = (2, 1)$ і $B' = (2, 1)$, тобто $A' = B'$.

Але $A \neq B$, що суперечить ін’єктивності. Отже, $f$ не є бієкцією і, зокрема, не є рухом. (Можна також зазначити: $|AB| = 2$, але $|A'B'| = 0 \neq 2$.) $\blacktriangleleft$

Дано точки $P(2, 5)$ і $Q(-3, 1)$. Перетворення переводить кожну точку $(x, y)$ у точку $(y, x)$ (відбиття відносно прямої $y = x$). Знайдіть образи $P'$ і $Q'$ та перевірте, що $|P'Q'| = |PQ|$.

Визначте, чи є кожне з наведених відображень рухом. Обґрунтуйте відповідь.

(а) $f(x, y) = (x + 3,\; y - 1)$

(б) $g(x, y) = (2x,\; 2y)$

(в) $h(x, y) = (-y,\; x)$