Рух. Паралельне перенесення

Паралельне перенесення зсуває кожну точку площини на однакову відстань в одному і тому самому напрямку. Це найпростіший рух і відправна точка для вивчення решти перетворень.

Основне означення

📐Означення — Паралельне перенесення на вектор $\vec{v}$

Нехай $\vec{v} = (a,\, b)$ — фіксований вектор. Паралельним перенесенням на вектор $\vec{v}$ називають перетворення, яке переводить кожну точку $A(x, y)$ у точку

$\boxed{A'(x + a,\; y + b)}$

Позначають $T_{\vec{v}}(A) = A'$ , або рівносильно $\overrightarrow{AA'} = \vec{v}$ для кожної точки $A$ .

Геометрично кожна точка переміщується в напрямку $\vec{v}$ на відстань $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Властивості паралельного перенесення

⚡Теорема — Властивості паралельного перенесення

Нехай $T_{\vec{v}}$ — паралельне перенесення на $\vec{v} = (a, b)$ . Тоді:

Ізометрія: $|A'B'| = |AB|$ для будь-яких точок $A$ , $B$ , тобто $T_{\vec{v}}$ є рухом.
Прямий рух: $T_{\vec{v}}$ зберігає орієнтацію.
Прямі переходять у паралельні: для будь-якої прямої $\ell$ її образ $\ell' = T_{\vec{v}}(\ell)$ паралельний $\ell$ (або збігається з $\ell$ , якщо $\vec{v} \parallel \ell$ ).
Будь-яка фігура переходить у рівну їй: образ довільного трикутника, многокутника або кола рівний оригіналу.
Композиція: послідовне застосування $T_{\vec{u}}$ та $T_{\vec{v}}$ дає перенесення $T_{\vec{u}+\vec{v}}$ : $T_{\vec{v}} \circ T_{\vec{u}} = T_{\vec{u}+\vec{v}}$

Доведення пункту 1. Нехай $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ . Тоді $A' = (x_1+a,\, y_1+b)$ , $B' = (x_2+a,\, y_2+b)$ .

$|A'B'| = \sqrt{(x_2+a - x_1-a)^2 + (y_2+b - y_1-b)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = |AB|. \quad \blacktriangleleft$

Знаходження вектора перенесення

Якщо відомо, що точка $A(x_1, y_1)$ переходить у $A'(x_1', y_1')$ , то вектор перенесення:

$\vec{v} = \overrightarrow{AA'} = (x_1' - x_1,\; y_1' - y_1)$

Цей вектор однаковий для кожної пари відповідних точок, тому перевірка за другою парою $B \to B'$ служить корисним контролем.

Розв’язані приклади

✎Приклад — Приклад 1 — Образ трикутника при паралельному перенесенні

Трикутник $ABC$ має вершини $A(1, 2)$ , $B(4, 2)$ , $C(3, 5)$ . Знайдіть вершини його образу при паралельному перенесенні на $\vec{v} = (-2,\, 3)$ .

Розв’язання. Застосуємо формулу $(x, y) \mapsto (x - 2,\; y + 3)$ до кожної вершини:

$A' = (1-2,\; 2+3) = (-1,\; 5)$ $B' = (4-2,\; 2+3) = (2,\; 5)$ $C' = (3-2,\; 5+3) = (1,\; 8)$

Перевірка: $|AB| = 3$ і $|A'B'| = |2-(-1)| = 3$ ✓; $|BC| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ і $|B'C'| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ ✓.

Відповідь: $A'(-1, 5)$ , $B'(2, 5)$ , $C'(1, 8)$ . $\blacktriangleleft$

✎Приклад — Приклад 2 — Знаходження вектора перенесення

Паралельне перенесення переводить точку $P(3, -1)$ у $P'(7, 4)$ і точку $Q(0, 2)$ у $Q'(4, 7)$ . Знайдіть вектор перенесення і перевірте узгодженість.

Розв’язання. З першої пари:

$\vec{v} = \overrightarrow{PP'} = (7-3,\; 4-(-1)) = (4,\; 5).$

Перевірка за другою парою: $\overrightarrow{QQ'} = (4-0,\; 7-2) = (4,\; 5)$ ✓.

Відповідь: Вектор перенесення $\vec{v} = (4,\, 5)$ . $\blacktriangleleft$

Вправи

✏Вправа

Квадрат має вершини $A(0,0)$ , $B(3,0)$ , $C(3,3)$ , $D(0,3)$ . Знайдіть вершини його образу при паралельному перенесенні на $\vec{v} = (1,\, -4)$ . Потім знайдіть вектор перенесення, який повертає образ у початковий квадрат.

✏Вправа

Паралельне перенесення переводить $M(-2, 5)$ у $M'(1, 1)$ . Знайдіть образ точки $N(6, -3)$ при цьому перенесенні. Також знайдіть прообраз точки $K(0, 0)$ при цьому перенесенні (тобто точку, яка переходить у $K$ ).