Гомотетія. Подібність фігур

Нехай $O$ — фіксована точка (центр гомотетії), $k \neq 0$ — дійсне число (коефіцієнт гомотетії). Гомотетією з центром $O$ і коефіцієнтом $k$ називають перетворення, яке переводить кожну точку $A$ у точку $A'$ таку, що:

$\overrightarrow{OA'} = k\,\overrightarrow{OA}$

Якщо $O = (a, b)$ і $A = (x, y)$, то:

$\boxed{A'= \bigl(a + k(x-a),\; b + k(y-b)\bigr)}$

Окремий випадок — центр у початку координат: $(x, y) \to (kx,\; ky)$.

Нехай $H_{O,k}$ — гомотетія з центром $O$ і коефіцієнтом $k$. Тоді:

1. Відстані масштабуються: $|A'B'| = |k|\cdot|AB|$ для будь-яких точок $A, B$.

2. Кути зберігаються: кут між будь-якими двома прямими дорівнює куту між їхніми образами.

3. Прямі переходять у паралельні: якщо пряма $\ell$ не проходить через $O$, її образ $\ell'$ паралельний $\ell$; якщо $\ell$ проходить через $O$, то $\ell' = \ell$.

4. Кола переходять у кола: коло з центром $C$ і радіусом $r$ переходить у коло з центром $C'$ (образ $C$) і радіусом $|k|r$.

5. Площа масштабується в $k^2$ разів: $S_{A'B'C'} = k^2 \cdot S_{ABC}$.

Доведення пункту 1. При центрі $O$ в початку координат: $A' = (kx_1, ky_1), \quad B' = (kx_2, ky_2).$ $|A'B'| = \sqrt{(kx_2-kx_1)^2+(ky_2-ky_1)^2} = |k|\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = |k|\cdot|AB|. \quad \blacktriangleleft$

Перетворенням подібності (або подібністю) з коефіцієнтом подібності $k > 0$ називають перетворення, яке можна подати як композицію гомотетії з коефіцієнтом $k$ (або $-k$) та руху. Рівносильно, $f$ є подібністю з коефіцієнтом $k$, якщо:

$|A'B'| = k\cdot|AB| \quad \text{для будь-яких точок } A, B.$

Кожен рух є подібністю з коефіцієнтом $k = 1$.

Якщо перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ переводить фігуру $F$ у фігуру $F'$, то:

$\boxed{\dfrac{S_{F'}}{S_F} = k^2}$

Скорочений доказ. Розіб’ємо $F$ на малі трикутники. Кожен трикутник переходить у подібний з коефіцієнтом $k$. Площа кожного малого образ-трикутника в $k^2$ разів більша за початкову, тому загальна площа масштабується в $k^2$ разів. $\blacktriangleleft$

Трикутник $ABC$ має вершини $A(1, 1)$, $B(3, 1)$, $C(2, 3)$. Знайдіть образ трикутника при гомотетії з центром $O(0, 0)$ і коефіцієнтом $k = 2$.

Розв’язання. Застосуємо $(x, y) \to (2x, 2y)$:

$A' = (2, 2), \quad B' = (6, 2), \quad C' = (4, 6).$

Перевірка: $|AB| = 2$, $|A'B'| = 4 = 2\cdot|AB|$ ✓; $|BC| = \sqrt{5}$, $|B'C'| = 2\sqrt{5}$ ✓.

Площа $ABC$: $S = \dfrac{1}{2}|{-4+2+0}| = 1$.

Площа $A'B'C'$: $S' = 4\cdot 1 = 4 = k^2 S$ ✓.

Відповідь: $A'(2, 2)$, $B'(6, 2)$, $C'(4, 6)$. $\blacktriangleleft$

Гомотетія переводить коло $\omega_1$ з центром $C_1(1, 2)$ і радіусом $r_1 = 2$ у коло $\omega_2$ з центром $C_2(5, 6)$ і радіусом $r_2 = 6$. Знайдіть центр і коефіцієнт гомотетії.

Розв’язання. Коефіцієнт:

$k = \pm\dfrac{r_2}{r_1} = \pm\dfrac{6}{2} = \pm 3.$

Випадок $k = 3$ (зовнішній центр): умова $\overrightarrow{OC_2} = 3\,\overrightarrow{OC_1}$, тобто $C_2 - O = 3(C_1 - O)$:

$5 - O_x = 3(1 - O_x) \implies 2O_x = -2 \implies O_x = -1.$ $6 - O_y = 3(2 - O_y) \implies 2O_y = 0 \implies O_y = 0.$

Тобто $O = (-1, 0)$, $k = 3$.

Випадок $k = -3$ (внутрішній центр): $C_2 - O = -3(C_1 - O)$ дає $O = (2, 3)$, $k = -3$.

Відповідь: Центр $O(-1, 0)$, коефіцієнт $k = 3$; або центр $O(2, 3)$, коефіцієнт $k = -3$. $\blacktriangleleft$

Трикутник $PQR$ має площу $S = 12$. Його переводять гомотетією з коефіцієнтом $k = \dfrac{3}{2}$ у трикутник $P'Q'R'$. Знайдіть площу $P'Q'R'$. Як зміниться відповідь при $k = -\dfrac{3}{2}$?

Гомотетія з центром $O(2, -1)$ переводить точку $A(4, 3)$ у $A'(8, 11)$. Знайдіть коефіцієнт $k$ і образ точки $B(0, -1)$ при цій гомотетії.