Осьова симетрія

Нехай $\ell$ — фіксована пряма на площині. Відбиттям відносно $\ell$ (або осьовою симетрією з віссю $\ell$) називають перетворення, яке переводить кожну точку $A$ у точку $A'$ таку, що:

• Якщо $A$ лежить на $\ell$, то $A' = A$ (точки на $\ell$ є нерухомими).
• Якщо $A$ не лежить на $\ell$, то $\ell$ є серединним перпендикуляром відрізка $AA'$, тобто $\ell \perp AA'$ і основа перпендикуляра з $A$ на $\ell$ є серединою відрізка $AA'$.

Нехай $\sigma_\ell$ — відбиття відносно прямої $\ell$. Тоді:

1. Ізометрія: $|A'B'| = |AB|$ для будь-яких $A, B$.
2. Непрямий рух: $\sigma_\ell$ змінює орієнтацію.
3. Інволюція: $\sigma_\ell \circ \sigma_\ell = \text{id}$ (двократне застосування відбиття повертає кожну точку на місце).
4. Прямі, перпендикулярні до $\ell$, переходять у себе; прямі, паралельні $\ell$, переходять в інші прямі, паралельні $\ell$.
5. Композиція двох відбиттів: якщо $\ell_1 \parallel \ell_2$ і відстань між ними $d$, то $\sigma_{\ell_2} \circ \sigma_{\ell_1}$ є паралельним перенесенням на $2d$; якщо $\ell_1$ і $\ell_2$ перетинаються під кутом $\varphi$, то $\sigma_{\ell_2} \circ \sigma_{\ell_1}$ є поворотом на $2\varphi$ навколо точки перетину.

Доведення пункту 1. Нехай $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, відбиття відносно осі $Ox$: $A'(x_1,-y_1)$, $B'(x_2,-y_2)$. $|A'B'| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(-y_2+y_1)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = |AB|. \quad \blacktriangleleft$

Пряму $\ell$ називають віссю симетрії фігури $F$, якщо відбиття $F$ відносно $\ell$ збігається з самою фігурою: $\sigma_\ell(F) = F$.

Приклади:

• Прямокутник (не квадрат) має рівно 2 осі симетрії (через середини протилежних сторін).
• Квадрат має 4 осі симетрії.
• Правильний $n$-кутник має $n$ осей симетрії.
• Коло має нескінченно багато осей симетрії (будь-який діаметр).
• Різносторонній трикутник не має жодної осі симетрії.

Знайдіть образ точки $A(1, 4)$ при відбитті відносно прямої $\ell: y = x + 1$.

Розв’язання. Пряма $\ell$ має кутовий коефіцієнт $1$, тому перпендикуляр з $A$ має кутовий коефіцієнт $-1$ і проходить через $A(1,4)$: $y - 4 = -1\cdot(x - 1) \implies y = -x + 5.$

Знайдемо основу перпендикуляра $F$ (перетин $\ell$ і перпендикуляра): $x + 1 = -x + 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2,\; y = 3. \quad F = (2, 3).$

Оскільки $F$ є серединою $AA'$: $A' = (2\cdot 2 - 1,\; 2\cdot 3 - 4) = (3,\; 2).$

Відповідь: $A'(3, 2)$. $\blacktriangleleft$

Точки $P(1, 3)$ і $P'(5, 1)$ симетричні відносно прямої $\ell$. Знайдіть рівняння $\ell$.

Розв’язання. Пряма $\ell$ є серединним перпендикуляром відрізка $PP'$.

Середина $PP'$: $M = \left(\dfrac{1+5}{2},\, \dfrac{3+1}{2}\right) = (3, 2)$.

Кутовий коефіцієнт $PP'$: $k = \dfrac{1-3}{5-1} = -\dfrac{1}{2}$.

Кутовий коефіцієнт $\ell$ (перпендикулярна): $k_\ell = 2$.

Рівняння $\ell$ через $M(3,2)$ з кутовим коефіцієнтом $2$: $y - 2 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 4.$

Відповідь: Вісь симетрії — $y = 2x - 4$. $\blacktriangleleft$

Знайдіть образи вершин трикутника $ABC$ з $A(2,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$ при відбитті відносно кожної осі:

(а) осі $Ox$; (б) осі $Oy$; (в) прямої $y = x$.

У кожному випадку вкажіть, чи збігається орієнтація образу трикутника з орієнтацією оригіналу.

Фігура $F$ симетрична відносно обох координатних осей. Доведіть, що $F$ симетрична також відносно початку координат (тобто має центр симетрії в початку координат).