Центральна симетрія

Нехай $O$ — фіксована точка, яку називають центром. Центральною симетрією з центром $O$ називають перетворення, яке переводить кожну точку $A$ у точку $A'$ таку, що $O$ є серединою відрізка $AA'$:

$\overrightarrow{OA'} = -\overrightarrow{OA}$

Якщо $O = (a, b)$ і $A = (x, y)$, то умова середини дає:

$\boxed{A' = (2a - x,\; 2b - y)}$

Окремий випадок — центр у початку координат: $(x, y) \to (-x,\; -y)$.

Центральна симетрія з центром $O$ тотожна повороту на $180°$ навколо $O$.

Доведення. При повороті на $180°$ навколо $O$ кожна точка $A$ переходить у єдину точку $A'$ таку, що $|OA'| = |OA|$ і $\angle AOA' = 180°$. Це означає, що $O$ лежить на відрізку $AA'$ і $|OA| = |OA'|$, тобто $O$ є серединою $AA'$. Це рівно означення центральної симетрії. $\blacktriangleleft$

Нехай $S_O$ — центральна симетрія з центром $O$. Тоді:

1. Ізометрія: $|A'B'| = |AB|$ для будь-яких $A, B$.
2. Прямий рух: $S_O$ зберігає орієнтацію.
3. Інволюція: $S_O \circ S_O = \text{id}$.
4. Прямі переходять у паралельні: будь-яка пряма $\ell$ переходить у пряму $\ell' \parallel \ell$ (або $\ell' = \ell$, якщо $\ell$ проходить через $O$).
5. Відрізки переходять у паралельні рівні відрізки: $A'B' \parallel AB$ і $|A'B'| = |AB|$.

Доведення пункту 1. При центрі $O$ в початку координат: $|A'B'| = |(-x_2)-(-x_1),\, (-y_2)-(-y_1)| = |(x_1-x_2,\, y_1-y_2)| = |AB|. \quad \blacktriangleleft$

Точку $O$ називають центром симетрії фігури $F$, якщо центральна симетрія $S_O$ переводить $F$ у саму себе: $S_O(F) = F$.

Приклади фігур, що мають центр симетрії:

• Паралелограм — центр — це точка перетину діагоналей.
• Коло — центр кола.
• Правильний $n$-кутник з парним $n$ — центр многокутника.
• Відрізок — середина відрізка.

Приклади фігур без центра симетрії: довільний трикутник, правильний многокутник з непарним $n$ (наприклад, рівносторонній трикутник, правильний п’ятикутник).

Знайдіть образ трикутника $ABC$ з $A(1, 2)$, $B(3, -1)$, $C(-2, 4)$ при центральній симетрії з центром $O(2, 1)$.

Розв’язання. Застосуємо формулу $A' = (4-x,\; 2-y)$ до кожної вершини:

$A' = (4-1,\; 2-2) = (3,\; 0)$ $B' = (4-3,\; 2-(-1)) = (1,\; 3)$ $C' = (4-(-2),\; 2-4) = (6,\; -2)$

Перевірка: $|AB| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$; $|A'B'| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ ✓.

Відповідь: $A'(3, 0)$, $B'(1, 3)$, $C'(6, -2)$. $\blacktriangleleft$

Паралелограм $ABCD$ має вершини $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(5,2)$, $D(1,2)$. Знайдіть центр симетрії і перевірте відповідь.

Розв’язання. У паралелограмі діагоналі перетинаються в середині. Центром симетрії є середина діагоналі $AC$:

$O = \left(\frac{0+5}{2},\, \frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2},\, 1\right).$

Перевірка: $A' = (5-0,\; 2-0) = (5,2) = C$ ✓; $C' = (5-5,\; 2-2) = (0,0) = A$ ✓; $B' = (5-4,\; 2-0) = (1,2) = D$ ✓; $D' = (5-1,\; 2-2) = (4,0) = B$ ✓.

Відповідь: Центр симетрії $O\!\left(\dfrac{5}{2},\, 1\right)$. $\blacktriangleleft$

Знайдіть образ точки $P(3, -2)$ при центральній симетрії з центром $O(-1, 4)$. Потім знайдіть прообраз точки $Q(0, 0)$ при цій самій симетрії.

Центральна симетрія переводить відрізок $AB$ ($A(1,3)$, $B(5,1)$) у відрізок $A'B'$ ($A'(7,5)$, $B'(3,7)$). Знайдіть центр симетрії.