Поворот

Нехай $O$ — фіксована точка (центр повороту), $\varphi$ — знаковий кут (додатний = проти годинникової стрілки). Повороту на кут $\varphi$ навколо $O$ — це перетворення, яке переводить кожну точку $A$ у точку $A'$ таку, що:

$|OA'| = |OA| \qquad \text{і} \qquad \angle AOA' = \varphi \text{ (відлічується проти годинникової стрілки)}.$

Центр $O$ є єдиною нерухомою точкою (він переходить у себе).

Поворот на кут $\varphi$ навколо початку координат переводить $A(x, y)$ у:

$\boxed{x' = x\cos\varphi - y\sin\varphi, \qquad y' = x\sin\varphi + y\cos\varphi}$

Окремі випадки:

Нехай $R_{O,\varphi}$ — поворот на $\varphi$ навколо $O$. Тоді:

1. Ізометрія: $|A'B'| = |AB|$ для будь-яких $A, B$.

2. Прямий рух: $R_{O,\varphi}$ зберігає орієнтацію.

3. Збереження кутів: кут між будь-якими двома прямими зберігається.

4. Кола переходять у кола: коло радіуса $r$ переходить у коло радіуса $r$.

5. Композиція: $R_{O,\varphi_2} \circ R_{O,\varphi_1} = R_{O,\varphi_1+\varphi_2}$ (повороти навколо одного центру складаються).

6. Окремі випадки:

   • $\varphi = 0°$: тотожне перетворення.
   • $\varphi = 180°$: центральна симетрія з центром $O$.

Доведення пункту 1. Відстань $|OA|$ зберігається (за означенням), так само $|OB|$. Кут $\angle AOB$ зберігається (обидва повертаються на однаковий $\varphi$, тому $\angle A'OB' = \angle AOB$). За теоремою косинусів у трикутниках $AOB$ і $A'OB'$: $|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|\cos(\angle AOB) = |A'B'|^2. \quad \blacktriangleleft$

Знайдіть образ точки $A(3, 1)$ при повороті на $90°$ (проти годинникової стрілки) навколо початку координат.

Розв’язання. Застосуємо формулу $(x, y) \to (-y, x)$:

$A' = (-1,\; 3).$

Перевірка: $|OA| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$; $|OA'| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ ✓. Кут між $\overrightarrow{OA} = (3,1)$ і $\overrightarrow{OA'} = (-1,3)$: $\cos\theta = \frac{(3)(-1)+(1)(3)}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} = \frac{0}{10} = 0 \implies \theta = 90° \checkmark.$

Відповідь: $A'(-1, 3)$. $\blacktriangleleft$

Трикутник $ABC$ має вершини $A(2, 0)$, $B(4, 0)$, $C(4, 2)$. Знайдіть образ трикутника при повороті на $90°$ (проти годинникової стрілки) навколо центру $O(2, 1)$.

Розв’язання. Використаємо формулу з $O = (2,1)$, $\varphi = 90°$ ($\cos 90° = 0$, $\sin 90° = 1$):

$x' = 2 + (x-2)\cdot 0 - (y-1)\cdot 1 = 3 - y$ $y' = 1 + (x-2)\cdot 1 + (y-1)\cdot 0 = x - 1$

Застосуємо до кожної вершини: $A(2,0): \quad x' = 3-0 = 3, \quad y' = 2-1 = 1. \quad A' = (3, 1).$ $B(4,0): \quad x' = 3-0 = 3, \quad y' = 4-1 = 3. \quad B' = (3, 3).$ $C(4,2): \quad x' = 3-2 = 1, \quad y' = 4-1 = 3. \quad C' = (1, 3).$

Перевірка: $|AB| = 2$; $|A'B'| = \sqrt{0+4} = 2$ ✓.

Відповідь: $A'(3, 1)$, $B'(3, 3)$, $C'(1, 3)$. $\blacktriangleleft$

(а) Знайдіть образ точки $P(0, 5)$ при повороті на $270°$ (проти годинникової стрілки) навколо початку координат.

(б) Поворот навколо початку координат переводить $A(1, 0)$ у $A'(0, 1)$. Яким є кут повороту? Чи існує інший поворот (на інший кут), що дає той самий результат?

Квадрат $ABCD$ має вершини $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(3,3)$, $D(1,3)$. Доведіть, що поворот на $90°$ навколо центру квадрата $O(2,2)$ переводить квадрат у себе. Яким є порядок цієї симетрії повороту?