Функції

Функція — одне з найфундаментальніших понять математики. Вона описує точний зв’язок між двома множинами чисел.

Що таке функція?

📐Визначення — Функція

Функція $f$ з множини $A$ у множину $B$ — це правило, яке кожному елементу $x \in A$ ставить у відповідність рівно один елемент $y \in B$ . Записують $y = f(x)$ .

$x$ називається аргументом (вхідним значенням)
$y = f(x)$ називається значенням функції (вихідним значенням)

Ключове слово — рівно один. Для кожного допустимого входу функція дає одне й лише одне значення. Запис $f(2)$ означає «обчислити значення функції $f$ при $x = 2$ ».

Область визначення та область значень

📐Визначення — Область визначення та область значень

Область визначення функції $f$ — множина всіх допустимих значень $x$ , для яких $f(x)$ існує.
Кообласть — цільова множина $B$ .
Область значень — множина всіх фактичних значень: $\{f(x) : x \in \text{область визначення}\}$ .

Область значень завжди є підмножиною кообласті, але вони не завжди збігаються.

Типові приклади

Функція	Формула	Область визначення
Лінійна	$f(x) = 2x + 1$	усі дійсні числа
Квадратична	$f(x) = x^2$	усі дійсні числа
Корінь	$f(x) = \sqrt{x}$	$x \geq 0$
Обернена	$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$x \neq 0$

✎Приклад — Обчислення значення функції

Нехай $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Знайдіть $f(3)$ .

Розв’язання. Підставимо $x = 3$ :

$f(3) = 2(3)^2 - 3(3) + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$

Вертикальна пряма

Графік у площині $xy$ є графіком функції тоді й лише тоді, коли кожна вертикальна пряма перетинає його не більше ніж в одній точці. Якщо хоча б одна вертикальна пряма перетинає графік у двох або більше точках, це не функція — одному входу відповідали б кілька значень.

Наприклад, графік $y = x^2$ проходить цей тест (парабола), а графік $x^2 + y^2 = 1$ (коло) — ні.

Кусково-задані функції

Кусково-задана функція використовує різні формули на різних частинах області визначення.

✎Приклад — Кусково-задана функція

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{якщо } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{якщо } x \geq 0 \end{cases}

Обчисліть $f(-2)$ та $f(3)$ .

Розв’язання.

Оскільки $-2 < 0$ , використовуємо перше правило: $f(-2) = (-2)^2 = 4$ .
Оскільки $3 \geq 0$ , використовуємо друге правило: $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ .

Кусково-задані функції особливо корисні для моделювання реальних ситуацій, де за різних умов діють різні правила — наприклад, податкові шкали або тарифи на доставку.