Зростання і спадання

Розуміння того, де функція зростає чи спадає, є важливим для аналізу її поведінки та знаходження екстремальних значень.

Зростаючі та спадні функції

📐Визначення — Зростання і спадання

Функція $f$ є зростаючою на проміжку $[a, b]$ , якщо для будь-яких $x_1, x_2 \in [a, b]$ :

$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$

Функція $f$ є спадною на проміжку $[a, b]$ , якщо:

$x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$

Інакше кажучи, зростаюча функція «йде вгору» при русі вправо, а спадна — «йде вниз».

Приклади монотонної поведінки

$f(x) = x^2$ : спадна на $(-\infty, 0]$ і зростаюча на $[0, +\infty)$ .
$f(x) = x^3$ : зростаюча на всій $\mathbb{R}$ .
$f(x) = |x|$ : спадна на $(-\infty, 0]$ і зростаюча на $[0, +\infty)$ .

Функція може не бути ні зростаючою, ні спадною в цілому, але мати монотонні проміжки. Функція $f(x) = \sin x$ — класичний приклад: вона зростає на $[-\pi/2, \pi/2]$ і спадає на $[\pi/2, 3\pi/2]$ , повторюючись періодично.

Найбільше та найменше значення

Глобальний максимум — це найбільше значення функції на всій області визначення. Глобальний мінімум — найменше. Локальний максимум — точка, де значення функції більше, ніж у всіх сусідніх точках (аналогічно для локального мінімуму).

⚡Теорема — Вершина параболи

Квадратична функція $f(x) = ax^2 + bx + c$ має вершину при $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Якщо $a > 0$ , вершина є глобальним мінімумом.
Якщо $a < 0$ , вершина є глобальним максимумом.

Розв’язаний приклад

✎Приклад — Аналіз зростання і спадання

Проаналізуйте функцію $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Розв’язання. Виділимо повний квадрат:

$f(x) = (x - 2)^2 - 1$

Вершина — точка $(2, -1)$ .

Спадна на $(-\infty, 2]$ : при наближенні $x$ до $2$ значення $(x-2)^2$ зменшується, тому $f(x)$ спадає.
Зростаюча на $[2, +\infty)$ : при віддаленні $x$ від $2$ значення $(x-2)^2$ зростає, тому $f(x)$ зростає.
Глобальний мінімум: $f(2) = -1$ . Глобального максимуму немає (функція зростає необмежено).

Визначення проміжків за графіком

Щоб визначити, де функція зростає чи спадає, за її графіком:

Знайдіть усі локальні максимуми та мінімуми (піки та западини).
Між послідовними екстремумами функція або цілком зростає, або цілком спадає.
Запишіть проміжки, використовуючи $x$ -координати цих екстремумів.

✏Вправа

Функція $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ — парабола, що відкривається вниз. Знайдіть вершину та вкажіть проміжки зростання і спадання.