Метод інтервалів

Метод інтервалів узагальнює підхід розв’язування квадратичних нерівностей на будь-яку поліноміальну або дробово-раціональну нерівність.

Метод

⚡Теорема — Кроки методу інтервалів

Щоб розв’язати $P(x) > 0$ (або $\geq$ , $<$ , $\leq$ ):

Перенесіть усе в один бік, щоб отримати $P(x) > 0$ .
Розкладіть на множники повністю — на лінійні та незвідні квадратичні.
Знайдіть усі дійсні корені та позначте їх на числовій прямій.
Перевірте одну точку в кожному проміжку, щоб визначити знак $P(x)$ .
Врахуйте рівність: включіть кінці для $\geq$ або $\leq$ ; виключіть для $>$ або $<$ .

ℹПримітка — Кратність має значення

Знак чергується в коренях непарної кратності (прості, потрійні тощо), але не чергується в коренях парної кратності (подвійні тощо). Корінь парної кратності — це точка, де графік торкається осі, але не перетинає її.

Приклад 1: простий поліном

✎Приклад — Три прості корені

Розв’яжіть $(x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0$ .

Розв’язання. Корені: $x = -2, 1, 3$ (усі прості). Вони ділять числову пряму на чотири проміжки.

Перевіримо $x = 0$ : $(-1)(2)(-3) = 6 > 0$ . Отже, проміжок $(-2, 1)$ додатний.

Оскільки знаки чергуються в простих коренях:

Проміжок	$(-\infty, -2)$	$(-2, 1)$	$(1, 3)$	$(3, +\infty)$
Знак	$-$	$+$	$-$	$+$

Розв’язок: $(-2, 1) \cup (3, +\infty)$ .

Приклад 2: парна кратність

✎Приклад — Подвійний корінь

Розв’яжіть $x^2(x - 1)(x + 2) \geq 0$ .

Розв’язання. Корені: $x = -2$ (простий), $x = 0$ (подвійний), $x = 1$ (простий).

Перевіримо кожен проміжок:

$x = -3$ : $9 \cdot (-4) \cdot (-1) = 36 > 0$
$x = -1$ : $1 \cdot (-2) \cdot 1 = -2 < 0$
$x = 0.5$ : $0.25 \cdot (-0.5) \cdot 2.5 = -0.3125 < 0$
$x = 2$ : $4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 > 0$

Проміжок	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
Знак	$+$	$-$	$-$	$+$

Знак не змінюється при $x = 0$ (парна кратність). Включаємо кінці, бо $\geq 0$ .

Розв’язок: $(-\infty, -2] \cup \{0\} \cup [1, +\infty)$ .

Дробово-раціональні нерівності

Метод поширюється на дробово-раціональні нерівності $\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0$ . Корені $Q(x) = 0$ є додатковими критичними точками, але їх завжди виключають з розв’язку (вираз у них не визначений).

✎Приклад — Дробово-раціональна нерівність

Розв’яжіть $\dfrac{x + 1}{x - 2} \leq 0$ .

Розв’язання. Критичні точки: $x = -1$ (нуль чисельника), $x = 2$ (нуль знаменника, виключається).

Перевірка: $x = 0$ : $\dfrac{1}{-2} = -0.5 < 0$ . Отже, проміжок $(-1, 2)$ від’ємний.

Проміжок	$(-\infty, -1)$	$(-1, 2)$	$(2, +\infty)$
Знак	$+$	$-$	$+$

Включаємо $x = -1$ (вираз дорівнює $0$ ), виключаємо $x = 2$ (не визначений).

Розв’язок: $[-1, 2)$ .