Квадратичні нерівності

Розв’язування квадратичних нерівностей поєднує формулу коренів квадратного рівняння з аналізом форми параболи.

Загальний метод

⚡Теорема — Метод розв'язування квадратичних нерівностей

Щоб розв’язати $ax^2 + bx + c > 0$ (або $\geq$ , $<$ , $\leq$ ):

Знайдіть корені рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ (якщо вони існують).
Визначте напрямок параболи: вгору, якщо $a > 0$ ; вниз, якщо $a < 0$ .
Визначте знак квадратичного виразу за ескізом параболи.

Розв’язок залежить від дискримінанта $D = b^2 - 4ac$ та знаку $a$ .

Випадок 1: $D > 0$ (два дійсних корені $r_1 < r_2$ )

Парабола перетинає вісь $x$ у точках $r_1$ та $r_2$ .

$a > 0$ : квадратичний вираз додатний поза коренями ( $x < r_1$ або $x > r_2$ ) та від’ємний між ними ( $r_1 < x < r_2$ ).
$a < 0$ : квадратичний вираз від’ємний поза коренями та додатний між ними.

✎Приклад — Два різних корені

Розв’яжіть $x^2 - 5x + 6 > 0$ .

Розв’язання. Розкладемо: $(x - 2)(x - 3) > 0$ . Корені: $r_1 = 2$ , $r_2 = 3$ .

Оскільки $a = 1 > 0$ , парабола відкривається вгору. Вираз додатний поза коренями:

$x < 2 \quad \text{або} \quad x > 3$

У інтервальному записі: $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$ .

Випадок 2: $D = 0$ (один кратний корінь $r$ )

Квадратичний вираз дорівнює $a(x - r)^2$ .

$a > 0$ : $(x - r)^2 \geq 0$ завжди. Вираз $\geq 0$ для всіх $x$ , дорівнює $0$ лише при $x = r$ . Строго додатний для $x \neq r$ .
$a < 0$ : вираз $\leq 0$ для всіх $x$ .

✎Приклад — Кратний корінь

Розв’яжіть $-x^2 + 4x - 4 \leq 0$ .

Розв’язання. Розкладемо: $-(x - 2)^2 \leq 0$ .

Оскільки $-(x-2)^2 \leq 0$ для всіх дійсних $x$ (недодатний квадрат, помножений на $-1$ ), нерівність виконується для всіх дійсних чисел: $x \in \mathbb{R}$ .

Випадок 3: $D < 0$ (немає дійсних коренів)

Парабола не перетинає вісь $x$ .

$a > 0$ : вираз завжди додатний.
$a < 0$ : вираз завжди від’ємний.

✎Приклад — Немає дійсних коренів

Розв’яжіть $x^2 + x + 1 > 0$ .

Розв’язання. $D = 1 - 4 = -3 < 0$ , і $a = 1 > 0$ .

Парабола відкривається вгору і не перетинає вісь $x$ , тому $x^2 + x + 1 > 0$ для всіх дійсних $x$ . Розв’язок — $\mathbb{R}$ .

Зведена таблиця

$D$	$a > 0$	$a < 0$
$D > 0$	Додатний поза коренями	Додатний між коренями
$D = 0$	$\geq 0$ завжди ( $= 0$ у корені)	$\leq 0$ завжди
$D < 0$	Завжди додатний	Завжди від’ємний

✏Вправа

Розв’яжіть $x^2 - 3x - 10 < 0$ . Знайдіть корені, визначте знак та запишіть розв’язок у інтервальному вигляді.

Квадратичні нерівності

Загальний метод

Випадок 1: D>0D > 0D>0 (два дійсних корені r1<r2r_1 < r_2r1​<r2​)

Випадок 2: D=0D = 0D=0 (один кратний корінь rrr)

Випадок 3: D<0D < 0D<0 (немає дійсних коренів)

Зведена таблиця

Випадок 1: $D > 0$ (два дійсних корені $r_1 < r_2$ )

Випадок 2: $D = 0$ (один кратний корінь $r$ )

Випадок 3: $D < 0$ (немає дійсних коренів)