Парні та непарні функції

Симетрія спрощує аналіз. Парні та непарні функції мають особливі властивості симетрії, що полегшують побудову графіків та дослідження.

Означення

📐Визначення — Парна функція

Функція $f$ є парною, якщо для кожного $x$ з її області визначення:

$f(-x) = f(x)$

Графік парної функції симетричний відносно осі $y$ .

📐Визначення — Непарна функція

Функція $f$ є непарною, якщо для кожного $x$ з її області визначення:

$f(-x) = -f(x)$

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (поворотна симетрія на 180°).

Важлива умова: область визначення має бути симетричною відносно $0$ . Тобто якщо $x$ належить області визначення, то $-x$ теж. Наприклад, $f(x) = \sqrt{x}$ (область визначення $[0, +\infty)$ ) не може бути ні парною, ні непарною.

Як перевірити

Щоб визначити, чи є $f$ парною, непарною або жодною з них:

Обчисліть $f(-x)$ , підставивши $-x$ замість кожного $x$ .
Спростіть результат.
Порівняйте: якщо $f(-x) = f(x)$ — функція парна. Якщо $f(-x) = -f(x)$ — непарна. Інакше — ні парна, ні непарна.

Приклади

Функція	$f(-x)$	Класифікація
$x^2$	$(-x)^2 = x^2 = f(x)$	Парна
$x^4 + 2x^2$	$x^4 + 2x^2 = f(x)$	Парна
$x^3$	$(-x)^3 = -x^3 = -f(x)$	Непарна
$x^3 - x$	$-x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$	Непарна
$x^2 + x$	$x^2 - x \neq f(x)$ і $\neq -f(x)$	Жодна

З тригонометрії: $\cos x$ — парна, $\sin x$ — непарна.

Розв’язаний приклад

✎Приклад — Перевірка на парність

Визначте, чи є $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ парною, непарною чи жодною з них.

Розв’язання. Обчислимо $f(-x)$ :

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$

Оскільки $f(-x) = f(x)$ , функція є парною.

Розклад на парну та непарну частини

Цікавий факт: будь-яку функцію $f$ (із симетричною областю визначення) можна записати як суму парної та непарної функцій:

$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{парна частина}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{непарна частина}}$

Можна перевірити, що перший доданок задовольняє $g(-x) = g(x)$ , а другий — $h(-x) = -h(x)$ .

✏Вправа

Класифікуйте $g(x) = x^3 + x^2$ . Парна, непарна чи жодна? Обчисліть $g(-x)$ та порівняйте.