Квадратична функція

Квадратична функція — одна з найважливіших функцій в алгебрі. Її графік — парабола — зустрічається всюди: від руху тіл до задач оптимізації.

Стандартний вигляд

📐Визначення — Квадратична функція

Квадратична функція має вигляд:

$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

⚡Теорема — Координати вершини

Для $f(x) = ax^2 + bx + c$ вісь симетрії:

$x = -\frac{b}{2a}$

Вершина:

$\left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Вершина дає глобальний мінімум, якщо $a > 0$ , або глобальний максимум, якщо $a < 0$ .

Канонічний вигляд (вершинна форма):

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

де $(h, k)$ — вершина. Для переходу зі стандартного вигляду потрібно виділити повний квадрат.

✎Приклад — Виділення повного квадрата

Перетворіть $f(x) = x^2 - 6x + 5$ у канонічний вигляд.

Розв’язання.

$f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

Вершина — $(3, -4)$ . Вісь симетрії — $x = 3$ .

f(x) = x² + +

a = 1.0

b = 0.0

c = 0.0

D = b²-4ac = 0.00Vertex: (0.00, 0.00)Roots: 0.00

Точки перетину з віссю $x$ — це розв’язки рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ . Їх існування залежить від дискримінанта:

$D = b^2 - 4ac$

✎Приклад — Повний аналіз

Знайдіть вершину, вісь симетрії та точки перетину з віссю $x$ для $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ .

Розв’язання.

Вершина: $x = -\dfrac{-4}{2 \cdot 2} = 1$ , $\;f(1) = 2 - 4 - 6 = -8$ . Вершина: $(1, -8)$ .

Вісь симетрії: $x = 1$ .

Дискримінант: $D = (-4)^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64 > 0$ .

Корені: $x = \dfrac{4 \pm 8}{4}$ , звідки $x = 3$ та $x = -1$ .

Парабола відкривається вгору ( $a = 2 > 0$ ), має мінімум $-8$ при $x = 1$ та перетинає вісь $x$ у точках $(-1, 0)$ і $(3, 0)$ .

✏Вправа

Знайдіть канонічний вигляд та всі точки перетину з осями для $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ .