Перетворення графіків

Перетворення дозволяють будувати нові функції зі знайомих, зсуваючи, розтягуючи, стискаючи або відображаючи їх графіки.

original: f(x) = sin  transformed: y = 2.0·f(x)

k = 2.0

■ original f(x)■ transformed

Вертикальні перетворення

⚡Теорема — Вертикальне масштабування та відображення

Для $y = f(x)$ графік $y = kf(x)$ :

$k > 1$ : вертикальне розтягнення у $k$ разів (віддаляє від осі $x$ )
$0 < k < 1$ : вертикальне стиснення у $k$ разів (наближає до осі $x$ )
$k < 0$ : відображення відносно осі $x$ та масштабування на $|k|$

Приклад: $y = 3x^2$ розтягує $y = x^2$ вертикально у 3 рази. $y = -x^2$ відображає відносно осі $x$ .

Горизонтальні перетворення

⚡Теорема — Горизонтальне масштабування

Графік $y = f(kx)$ :

$k > 1$ : горизонтальне стиснення у $1/k$ разів (стискає до осі $y$ )
$0 < k < 1$ : горизонтальне розтягнення у $1/k$ разів (розтягує від осі $y$ )

Приклад: $y = (2x)^2 = 4x^2$ стискає $y = x^2$ горизонтально у $1/2$ разів.

Зверніть увагу на контрінтуїтивний напрямок: множення аргументу на $k > 1$ робить графік вужчим, а не ширшим.

Паралельні зсуви

Перетворення	Ефект	Приклад з $f(x) = x^2$
$y = f(x) + b$	Зсув вгору на $b$ (вниз, якщо $b < 0$ )	$y = x^2 + 3$ : зсув вгору на 3
$y = f(x + a)$	Зсув вліво на $a$ (вправо, якщо $a < 0$ )	$y = (x - 2)^2$ : зсув вправо на 2

⚡Теорема — Паралельні зсуви

$y = f(x) + b$ зсуває графік вертикально на $b$ одиниць.
$y = f(x + a)$ зсуває графік горизонтально на $-a$ одиниць (вліво, якщо $a > 0$ ; вправо, якщо $a < 0$ ).

Перетворення з модулем

Перетворення	Ефект	Приклад з $f(x) = x^2 - 4$
$y = \\|f(x)\\|$	Частини нижче осі $x$ відображаються вгору	Від’ємна частина $x^2 - 4$ відображається вгору
$y = f(\\|x\\|)$	Зберігається графік для $x \geq 0$ , дзеркально відображається вліво	Права половина $x^2 - 4$ дзеркально відображається

Комбінування перетворень

ℹПримітка — Порядок має значення

При комбінуванні кількох перетворень порядок виконання має значення. Загалом:

$f(2x + 1) \neq 2f(x) + 1$

Застосовуйте перетворення в такому порядку: (1) горизонтальне масштабування, (2) горизонтальний зсув, (3) вертикальне масштабування, (4) вертикальний зсув.

✏Вправа

Опишіть, як отримати $y = 2(x - 3)^2 + 1$ з $y = x^2$ .

Підказка: визначте горизонтальний зсув, вертикальне розтягнення та вертикальний зсув, а потім вкажіть порядок їх застосування.